University of Athens

ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ

ΕΑΡΙΝΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ 2020

Θεοχάρης Αποστολάτος, Πέτρος Ιωάννου & Δημήτρης Φρατζεσκάκης

Aίθουσα Διαλέξεων Τομέα Αστροφυσικής

Όσοι συναντήσετε δυσκολίες συνεργαστείτε με τους συμμαθητές σας.

Λογισμικό MATLAB

Μπορείτε, εάν είστε μέλος του Πανεπιστημίου Αθηνών, να προμηθευτείτε δωρεάν το λογισμικό Matlab (το Πανεπιστήμιό μας έχει έρθει σε συνεννόηση με την Mathworks η οποία έχει δημιουργήσει το Matlab). Για να σας επιτραπεί η λήψη πρέπει να επιβεβαιώσετε ότι είστε φοιτητής του Πανεπιστημίου. Υπάρχουν δύο τρόποι για να το κάνετε αυτό:

να συνδεθείτε από υπολογιστή που βρίσκεται εντός του δικτύου του Πανεπιστημίου, ή
να εγκαταστήσετε την Υπηρεσία Ασφαλούς Πρόσβασης μέσω Ιδεατών Δικτύων (VPN) στον υπολογιστή σας και να χρησιμοποιήσετε το username/password που έχετε και για το my-studies.

Οδηγίες για την εγκατάσταση του VPN (Windows, Mac, Linux) υπάρχουν εδώ.

Οδηγίες για την εγκατάσταση του Matlab υπάρχουν στη σελίδα του υπολογιστικού κέντρου του ΕΚΠΑ.

Περιληπτικά οι οδηγίες είναι: Για να την εγκατάσταση του Matlab, ανάλογα με το περιβάλλον εγκατάστασης, κατεβάστε ένα από τα:

R2015b-win32.zip (Windows 32-bit)
R2015b-win64.zip (Windows 64-bit)
R2015b-maci64.zip (MacOS)
R2015b-glnxa64.zip (Linux)

καθώς επίσης και το αρχείο licence-client.dat.

(Συστήνουμε την έκδοση 2015b. Εάν προτιμάτε την έκδοση 2016a είναι διαθέσιμη στην ιστοσελίδα του υπολογιστικού κέντρου.)

Προχωρήστε στην εγκατάσταση εκτελώντας το αρχείο setup. Επιλέξτε: "Εγκατάσταση ΧΩΡΙΣ ιντερνετ (Installation without internet)". Όταν σας ζητηθεί σειριακός αριθμός (file installation key) εισάγετε:
για έκδοση 2015b:
42556-14362-64759-11109-08860-03011-63967-61500-64785 ή για έκδοση 2016a:
13541-24213-64569-01772-55654-21863-17344-51460-57468 Έπειτα, όταν σας ζητηθεί η Τοποθεσία του αρχείου άδειας (Licence file location), δώστε την ακριβή θέση (full path) του αρχείου licence-client.dat.

Θα πρέπει κάθε φορά που τρέχετε το Matlab να βρίσκεστε σε υπολογιστή εντός του δικτύου του Πανεπιστημίου ή να έχετε ανοικτό το VPN.

Όσοι συναντήσετε δυσκολίες συνεργαστείτε με τους συμμαθητές σας. Ο συμφοιτητής σας ΘΑ σημειώνει: ένα σύνηθες σφάλμα κατά την εγκατάσταση είναι η ένδειξη error finding installer class η αλλιώς Invalid disk, cannot find appropriate setup.exe file Αυτό συμβαίνει γιατί η διαδρομή του αρχείου(path) περιέχει non-ASCII χαρακτήρες όπως ελληνικά τονούμενα γράμματα και διάφορα σημεία στίξης. Μια πολύ καλή λύση λοιπόν για αυτό το πρόβλημα είναι να τοποθετήσουμε το αρχείο εγκατάστασης κατευθείαν μέσα στο σκληρό δίσκο και όχι σε κάποιο άλλο φάκελο και να το τρέξουμε από 'κεί.

Matlab Tutorials

Matlab primer
Παραδείγματα χρήσης Matlab
Matlab Introduction
Matlab Summary and Tutorial: http://www.math.ufl.edu/help/matlab-tutorial/

Το άρθρο του Budyko στο οποίο παρουσιάζει το απλό κλιματικό μοντέλο για τις κλιματικές αλλαγές, ένα γενικό άρθρο του Ghil για το ίδιο θέμα καθώς και ανάλυση απλών κλιματικών μοντέλων από το βιβλίο του Pierrehumbert, R.T.: Principles of planetary climate, ιδιαίτερα σελ. 153-163. (26/3/15)

Προγράμματα Matlab (euler_ekthetiki.m και Xdot.m) που φτιάξαμε στο μάθημα για την επίλυση του δυναμικού συστήματος \(\dot{x}= a x\), \(x(0)=x_0\). (26/3/15)

Άσκηση - Παράδοση: 2/4, 09:00

Άσκηση - Παράδοση: 21/4, 09:00

Το άρθρο των Hoffman και Schrag άρθρο για Snowball Earth.

Προγράμματα Matlab (disdiastatosystima.m και func2D.m) που φτιάξαμε για την επίλυση του αρμονικού ταλαντωτή με απόσβεση. Τροποποιώντας κατάλληλα τη συνάρτηση func2D.m μπορείτε να ολοκληρώσετε οποιοδήποτε δισδιάστατου δυναμικό σύστημα (αυτόνομο ή μη-αυτόνομο). (23/4/15)

Πρόγραμμα Matlab (diakladosi.m) για τον υπολογισμό του διαγράμματος διακλάδωσης του δυναμικού συστήματος \(\dot{x}=-x^5-\gamma x^3 + \epsilon x -h\). (23/4/15)

Άσκηση στην αριθμητική ολοκλήρωση με matlab - Παράδοση: 7/5, 09:00

Το άρθρο των Moler και Van Loan για τους 19 τρόπους υπολογισμού του \(e^{{\mathbb A} t}\). (28/4/15)

Άσκησεις για την Πέμπτη, 30/4 (28/4/15)

1) Δείξτε ότι για κάθε τετραγωνικό πίνακα \({\mathbb A}\) ισχύει: \(e^{{\mathbb A} (t_1+t_2)}=e^{{\mathbb A} t_1}e^{{\mathbb A} t_2}\).
2) Δείξτε ότι εάν \({\mathbb A_1}\), \({\mathbb A_2}\) τετραγωνικοί πίνακες για τους οποίους ισχυει \({\mathbb A_1} {\mathbb A_2}={\mathbb A_2}{\mathbb A_1}\) τότε ισχύει: \(e^{{\mathbb A_1} t}e^{{\mathbb A_2} t}=e^{({\mathbb A_1}+{\mathbb A_2})t}\).
3) Έστω ο πίνακας \({\mathbb A}=\left(\begin{matrix} a & b \\ 0 & a \end{matrix}\right)\). Δείξτε ότι ο διαδότης μπορεί να γραφεί στη μορφή \(e^{{\mathbb A} t} = f_1(t)\, {\mathbb 1} + f_2(t)\, {\mathbb A}\) προσδιορίζοντας τις συναρτήσεις \(f_1(t)\) και \(f_2(t)\).

Άσκηση για την Πέμπτη 7/5 (30/4/15)

Έστω το δυναμικό σύστημα του αρμονικού ταλαντωτή συχνότητας \(\omega=1\) με απόσβεση το οποίο είναι παραλλαγμένο ελαφρώς από κάποιους μη-γραμμικούς όρους που ελέγχονται από την παράμετρο \(\alpha\):
\(\dot{x}=y + \alpha x (x^2+y^2)\), \(\dot{y}=-x-2\gamma y +\alpha y (x^2+y^2)\). Δείξτε γράφοντας το σύστημα σε πολικές συντεταγμένες ότι κοντά στο σημείο ισορροπίας \((0,0)\) ο χαρακτηρισμός του συστήματος εξαρτάται μόνο από το \(\gamma\) και όχι από το \(\alpha\).
Προσδιορίστε αριθμητικά για \(\gamma=0.1\) και \(\alpha=0.1\) την περιοχή των αρχικών συνθηκών γύρω από το \((0,0)\) για την οποία το σύστημα έλκεται στο \((0,0)\). (Αλλιώς: πόσο μακριά από το \((0,0)\) πρέπει να πάμε για να αρχίσουν να παίζουν ρόλο οι μη-γραμμικοί όροι;)
Τι συμβαίνει για \(\gamma=0.1\) και \(\alpha=-0.1\);

Άσκηση - Παράδοση: 12/5, 09:00

Άσκηση - Παράδοση: 19/5, 09:00

Άσκηση - Παράδοση: 26/5, 09:00

Πρόγραμμα Matlab (lyapunov_pendulum.m) για τον υπολογισμό του εκθέτη Lyapunov του συστήματος \(\ddot{x}+\omega(t)^2 x=0\) με \(\omega(t)=1+\epsilon\sin{\left(\frac{2\pi t}{T}\right)}\). Το πρόγραμμα υπολογίζει τον εκθέτη Lyapunov συναρτήσει του \(\epsilon\) και του \(T/T_0\) όπου \(T_0\) η περίοδος του εκκρεμούς για \(\epsilon=0\) (βλ. σχήμα). (28/5/15)

Άσκηση - Παράδοση: 2/6, 09:00

Ένα βιβλίο με μία περισσότερο μαθηματική προσέγγιση στη θεωρία δυναμικών συστημάτων είναι αυτό του Meiss, J. D.: Differential dynamical systems. Επικεντρωθείτε στο κεφάλαιο 4. (1/6/15)

Άσκηση - Παράδοση: 9/6, 09:00

Σημειώσεις Γ. Δατσέρη για τις μονοδιάστατες απεικονίσεις. (11/6/15)

Άσκηση για την Πέμπτη 18/6

Για τη λογιστική απεικόνιση \( x_{n+1}=r x_n (1-x_n) \) δείξτε ότι για \(r>4\) θα υπάρξει απειρισμός του πληθυσμού.
Βρείτε τις τιμές του \( r \) ώστε το σταθερό σημείο \( x_2=1-r^{-1} \) να είναι ευσταθές.
Βρείτε τις τιμές του \( r \) ώστε ο κύκλος\(-\)2 να είναι ευσταθής.

Ασκήσεις και Σημειώσεις 2014

Το άρθρο του Purcell για τη ζωή σε περιβάλλον μεγάλου ιξώδους. (12/5/14)
Άσκηση Matlab σχετικά με τις μεθόδους αριθμητικής ολοκλήρωσης (12/5/14)
Προγράμματα Matlab που φτιάξαμε τη Δευτέρα (19/5/14): coeff.m, oloklirosi.m και diaforiki.m
Άσκηση Matlab σχετικά με την αριθμητική ολοκλήρωση της λογιστικής εξίσωσης (23/5/14)
Προγράμματα Matlab για την ολοκλήρωση του αρμονικού ταλαντωτή (ή και για όποιο δισδιάστατο (αυτόνομο) σύστημα θέλετε, με κατάλληλη επεξεργασία της συνάρτησης) (26/5/14) oscillator.m και twoD.m
Πρώτο διαγώνισμα - Παράδοση: 20/6, 09:00
Προγράμματα Matlab που φτιάξαμε τη Δευτέρα (16/6/14): kriari.m, flowfield.m και το διάγραμμα ροής του δυναμικού συστήματος \(\dot{x}=x-xy\), \(\dot{y}=-y+x^2\)
Άσκηση - Παράδοση: 23/6, 14:00
Δεύτερο διαγώνισμα - Παράδοση: 30/6, 14:00
Άσκηση - Παράδοση: 7/7, 14:00
Απόδειξη Θεωρήματος Poincare-Bendixson (5/7/14)
Άσκηση - Παράδοση: 14/7, 14:00
Προγράμματα Matlab που φτιάξαμε τη Δευτέρα (14/7/14): Delta_chaos.m

Ασκήσεις και Σημειώσεις 2013

Προγράμματα Matlab για την ολοκλήρωση του ταλαντωτή Duffing και Van der Pol και της σύγκρισής της αριθμητικής λύσης με την μέθοδο των πολλαπλών χρόνων (24/4/13):
1. η συνάρτηση που περιγράφει το Duffing και το πρόγραμμα που κάνει την ολοκλήρωση και συγκρίνει: VP.m, oloklirosi_VP.m
2. η συνάρτηση που περιγράφει το Duffing και το πρόγραμμα που κάνει την ολοκλήρωση και συγκρίνει: DUF.m, oloklirosi_DUF.m
Προγράμματα Matlab που φτιάξαμε την Τετάρτη (3/4/13): (1) Runge-Kutta vs Euler, (2) Το πρόγραμμα που καλεί την υπορουτίνα-συνάρτηση Runge-Kutta προεκιμένου να ολοκληρώσει κάποιο δυναμικό σύστημα, (3,4) οι συναρτήσεις-υπορουτίνες που καλεί το προηγούμενο πρόγραμμα: η Runge-Kutta και η συνάρτηση του συγκεκριμένου δυναμικού συστήματος (Van der Pol).
Προγράμματα Matlab της Τετάρτης 22/5/13 για SVD ανάλυση: svd_example.m.
Προγράμματα Matlab της Τετάρτης 5/6/13 για το συγχρονισμό του συστήματος Lorenz: Lorenz_sync.m και η υπορουτίνα dlorenz.m.

Ασκήσεις και Σημειώσεις 2012

Προγράμματα που δημιουργήθηκαν κατά τη διάρκεια του μαθήματος της 16/3/2012:
- logistic_general.m
- flogi.m (η συνάρτηση μετονομάστηκε σε flogi.m από flogistic.m που ήταν κατά τη διάρκεια του μαθήματος)
Άσκηση αριθμητικής ολοκλήρωσης λογιστικής εξίσωσης (συντάχθηκε από Ν. Κωνσταντίνου)
Για την Παρασκευή, 23/3/12, λύστε τα προβλήματα από το βιβλίο του Strogatz: 3.7.3 (a model for fishery) & 3.6.7
Άσκηση - Παράδοση 6/4
Το πρόγραμμα που χρησιμοποιήθηκε για τον υπολογισμό της περιόδου του εκκρεμούς: oloklirosis.m, 27/4
Matlab Introduction
Διαγώνισμα 2012

Ασκήσεις και Σημειώσεις 2011

Άσκηση αριθμητικής ολοκλήρωσης λογιστικής εξίσωσης (συντάχθηκε από Ν. Κωνσταντίνου)
Eκλαϊκευτικό άρθρο για τοφαινόμενο του συγχρονισμού. Ένα άρθρο επισκόπισης για τις πυγολαμπίδες. Τέλος παραθέτω το άρθρο του Ermentout.
Σημειώσεις για τη χρονοεξαρτώμενη λογιστική εξίσωση και εισαγωγή σε απεικονίσεις περιόδου.
Τα προγράμματα: program_for_2d.m, rk_2d.m, function_2d.m
Ασκήσεις (παράδοση 6/4)
Ασκήσεις (παράδοση 13/4)
Ασκήσεις (παράδοση 4/5)
Ασκήσεις (παράδοση 11/5)
Ασκήσεις (παράδοση 17/5) (συντάχθηκε απο Ν. Κωνσταντίνου)
Μην ξεχάσετε να γράψετε απόδειξη για την πρόταση οτι για κάθε συνεχή συνάρτηση \(\phi(x)\) σε κλειστο διάστημα υπάρχουν \(\mu\) και \(\textit{M}\) έτσι ώστε: \(\mu\le\phi(x)\le M\)
Ασκήσεις (παράδοση 24/5)
Απόδειξη Θεωρήματος Hopf
Μετάφραση της πρωτότυπης δημοσίευσης του Hopf (1942) στα Αγγλικά με τις παρατηρήσεις του L. Howard.
Τελευταία σειρά ασκήσεων (παράδοση 7/6)

Ασκήσεις και Σημειώσεις 2006

Ασκήσεις και Σημειώσεις 2005

--> -->

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ

ΕΑΡΙΝΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ 2020

Θεοχάρης Αποστολάτος, Πέτρος Ιωάννου & Δημήτρης Φρατζεσκάκης

Δευτέρα 9-11, Τετάρτη 9-11

Aίθουσα Διαλέξεων Τομέα Αστροφυσικής

Ασκήσεις και Σημειώσεις 2014

Ασκήσεις και Σημειώσεις 2013

Ασκήσεις και Σημειώσεις 2012

Ασκήσεις και Σημειώσεις 2011

Ασκήσεις και Σημειώσεις 2010

Ασκήσεις και Σημειώσεις 2008

Ασκήσεις και Σημειώσεις 2007

Ασκήσεις και Σημειώσεις 2006

Ασκήσεις και Σημειώσεις 2005

Παλαιότερες Ασκήσεις και Εξετάσεις