ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ

Τμήμα Μαθηματικών

 

Κρικέλης Πέτρος. Γραφείο 214

Για παρατηρήσεις, υποδείξεις, απορίες, email: pkrikel@math.uoa.gr.

 

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

A general formula in Additive Number Theory

 Mathematical Structures Defined by Identities

Μιχάλης Μυτιληναίος Λογική.

Δ Λάππα Αρχαία Ελληνικά Μαθηματικά. Σημειώσεις παραδόσεων

A strong “abc-conjecture” for certain partitions a+b of c

Download the first 200000 primes

Download TableauScan3.exe

Download functionPR.zip

 Download abcEquationsGF.zip

Download functionPRQ

Download functionPRd.zip

 

Ακέραιοι αριθμοί. Ημιομάδες – Ομάδες (πρώτες έννοιες, απλές ιδιότητες) – Δακτύλιος – Ακεραία περιοχή (πρώτες έννοιες, απλές ιδιότητες) – Ορισμός του συνόλου  των φυσικών αριθμών – Καλή διάταξη – Πρώτη και δεύτερη αρχή της επαγωγής – Το σύνολο Z  των ακεραίων αριθμών - Αρχές συνδυαστικής – Διώνυμο του Newton – Γεννήτριες συναρτήσεις – Αναγωγικές σχέσεις – εξισώσεις διαφορών – Αριθμητική, Γεωμετρική πρόοδος – Τρίγωνο του Pascal – Μέθοδος διαφορών του Newton – Γραμμικές εξισώσεις διαφορών – Διαιρετότης εν Z – Αλγόριθμος του Ευκλείδη – Ιδεώδη – Κύρια Ιδεώδη – Τύπος του Bezout – Θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής – Ισοϋπόλοιποι αριθμοί –Ισοτιμίες – Συνάρτηση φ του Euler – Θεωρήματα των Euler και Fermat – Θεώρημα του Wilson - Ο δακτύλιος - Ορισμός σώματος, κατασκευή των ρητών αριθμών.

Άλγεβρα Τανυστών Εισαγωγικά - covariant και contra variant μετασχηματισμοί - Τανυστικό γινόμενο – Κατασκευή τανυστικού χώρου - contraction - βάση τανυστικού γινομένου – μετασχηματισμοί των συντεταγμένων - Επιτρεπτές πράξεις - Εξωτερικά γινόμενα

Γεωμετρικές εφαρμογές. Ομοπαράλληλοι ή συσχετισμένοι χώροι - Σχετικές θέσεις επιπέδου - Εσωτερικό γινόμενο - Αλγόριθμος των Gram-Schmidt - Εμβαδόν τριγώνου - Ομογενείς συντεταγμένες στο επίπεδο - Ευθείες και επίπεδα στον χώρο - Στροφή στερεού - Εξωτερικό γινόμενο - Εφαρμογές - Καμπύλες στο επίπεδο - Κωνικές τομές - Οπτικές και άλλες ιδιότητες των κωνικών τομών - Πολικές συντεταγμένες - Επιφάνειες δευτέρου βαθμού – Επιφάνειες εκ περιστροφής – Εφαπτομενικό επίπεδο - Η μετρική του χώρου.

Γεωμετρία του Χώρου. Συστήματα συντεταγμένων - Καμπύλες στον χώρο - Εφαπτομένη καμπύλης - Μετασχηματισμοί των συντεταγμένων - Συσχετισμένοι μετασχηματισμοί - Αλλαγή κλίμακας - Στροφή των αξόνων - Πολικές συντεταγμένες - Κυλινδρικές συντεταγμένες - Σφαιρικές συντεταγμένες - Χαρακτηρισμός εμπλεκομένων μεγεθών - Το gradient

Γεωμετρικές κατασκευές. Κατασκευάσιμα μεγέθη – Τετραγωνικές επεκτάσεις σώματος – Διπλασιασμός του κύβου – Τριχοτόμηση γωνίας – Τετραγωνισμός του κύκλου – Κατασκευή κανονικού πολυγώνου.

Γραμμικά Συστήματα. Ορισμοί - Στοιχειώδεις πράξεις επί των συστημάτων - Λύση γραμμικών συστημάτων - Πράξεις επί των διανυσμάτων - Γραμμικοί συνδυασμοί - Η εξίσωση Ax = b - Ομογενεί γραμμικά συστήματα - Γραμμική εξάρτηση - Γραμμικοί Μετασχηματισμοί - Ο πίνακας ενός γραμμικού μετασχηματισμού - Άλγεβρα πινάκων. Συμβολισμός - Ο αντίστροφος πίνακας - Στοιχειώδεις πίνακες - Μηδενικός χώρος, πυρήνας μετασχηματισμού - Ο χώρος που παράγουν οι κολώνες ενός πίνακα - Ο χώρος που παράγουν οι γραμμές ενός πίνακα - Συστήματα συντεταγμένων - Αλλαγή βάσης.

Γραμμικές απεικονίσεις. Ορισμοί, ορολογία, συμβολισμοί - Μετασχηματισμός των συντεταγμένων -Παραδείγματα και εφαρμογές - Ορθογώνιοι Μετασχηματισμοί

Γραμμικές, Διγραμμικές, Τετραγωνικές μορφές. Γραμμικές μορφές - Δυϊκός Χώρος - Δυϊκή βάση - Μετασχηματισμός των συντεταγμένων - Διγραμμικές μορφές - Αλλαγή βάσεως - Τάξη διγραμμικής μορφής - Τετραγωνικές μορφές - Κανονική έκφραση τετραγωνικής μορφής - Ισοδύναμες τετραγωνικές μορφές - Κριτήριο του Sylvester - Ορίζουσα του Gram – Πλειογραμμικές μορφές - Οι δύο μεγάλες κατηγορίες των n-μορφών

Γραμμικοί Χώροι. Εισαγωγικά - Ορισμός γραμμικού χώρου - Υπόχωροι - Ένωση, Τομή υποχώρων - Γραμμική εξάρτηση - Βάσεις - Ο Χώρος της Αναλυτικής Γεωμετρίας - Πράξεις με υπόχωρους - Ο χώρος πηλίκο (Σύμπλοκο).

Διατεταγμένα σώματα Ι Διατάξεις (συμβιβαστές) δακτυλίων και σωμάτων - θετικός κώνος - προθετικός κώνος - Θεώρημα Artin-Schreier - Ημιδιατάξεις  σωμάτων - Αρχιμήδειες διατάξεις και ημιδιατάξεις - Πλήρωση των αρχιμηδείων διατεταγμένων σωμάτων - Πλήρωση κατά Εύδοξο - Dedekind του συνόλου Q των ρητών αριθμών - Πλήρωση των μη αρχιμηδείων σωμάτων

Διατεταγμένα σώματα ΙI Σώματα διατακτικά αλγεβρικά αξεπέραστα (real closed field)

Επεκτάσεις Σώματος. Προκαταρκτικά - Απλές αλγεβρικές επεκτάσεις - ελάχιστο πολυώνυμο - σώμα διασπάσεως - Αυτομορφισμοί σώματος - Ομάδες Galois - Απεικόνιση Galois

Η Μετρική του Χώρου. Η μετρική του χώρου - Συμμετρικές διγραμμικές μορφές – Τετραγωνικές μορφές - Ορθοκανονικά συστήματα συναρτήσεων - Απειροδιάστατοι γραμμικοί χώροι - Ανισότης του Bessel.

Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα – ιδιοτιμές – ιδιόχωροι – διαγωνοποίηση πίνακος – Τριγωνοποίηση πίνακος – Θεώρημα των Cayley Hamilton.

 Μιγαδικοί αριθμοί. Σύντομη ιστορική εισαγωγή. – Ορισμός και πράξεις επί των Μιγαδικών αριθμών. – Αναπαραστάσεις των Μιγαδικών αριθμών. –  Το Μιγαδικό επίπεδο. - Ρίζες της μονάδος-Αρχικές ρίζες της μονάδος. – Κυκλοτομικά πολυώνυμα.

Ορίζουσες. Μεταθέσεις - Ορίζουσες - Αναπτύγματα οριζουσών - Αντιστροφή οριζουσών - Στοιχειώδεις πράξεις επί των γραμμών - Κυρία ελάσσων.

Ομάδες.Ομάδες. Μεταθέσεις - Πράξεις με υποομάδες - Οι συμμετρικές ομάδες  - Η ομάδα του Klein - Κυκλικές ομάδες - Θεώρημα του Cayley - Θεώρημα του Lagrange - Συζυγή στοιχεία - Κανονικές υποομάδες - Το θεώρημα του Sylow - Υποκανονικές και Κανονικές σειρές - Επιλύσιμες ομάδες - Θεώρημα των Jordan – Hölder

Ο Χώρος και ο Χρόνος. Γενικές αρχές - Μετασχηματισμοί του Γαλιλαίου - Μετασχηματισμοί του Lorentz - Ο χώρος του Minkowski

Πίνακες. Ορισμοί - Πράξεις επί των πινάκων - Μη ιδιάζοντες πίνακες - Αλλαγή βάσεως - Ισοδυναμία, ομοιότης πινάκων - Στοιχειώδεις πίνακες - Τάξις πίνακος - Γραμμικά συστήματα.

Πολυώνυμα. Πολυωνυμικός δακτύλιος - Ορολογία, ορισμοί - Πολλαπλασιασμός και διαίρεσις πολυωνύμων - Λήμμα Gauss - Κριτήριο Eisenstein - Πολυωνυμικές διαφορές - Τύπος παρεμβολής του Newton - Παραγώγιση πολυωνύμου - Τύπος του Taylor - Ρίζες πολυωνύμων βαθμού  ≤ 4 εν C[x] - Μέθοδος Newton - Μέθοδος Horner - Εύρεσις φραγμάτων γιά τις ρίζες του πολυωνύμου f εν C[x] - Φράγματα γιά τις πραγματικές ρίζες του f(x) - Θεώρημα του Lagrange - Θεώρημα του Newton - Θεώρημα του Sturm - Θεώρημα των Butan, Fourier - Κανόνας του Descartes - Αλγεβρικοί αριθμοί - ελάχιστο πολυώνυμο - Θεώρημα του Kronecker - Μεταβολή προσήμου - Θεωρήματα των Descartes και Sturm - Συμμετρικές συναρτήσεις - Αλγεβρικοί αριθμοί.

Πολυωνυμικοί Μετασχηματισμοί. Αναλλοίωτος υπόχωροι - Ελάχιστο πολυώνυμο - Κυκλικοί υπόχωροι - Συνοδεύων πίνακας. - Κανονική μορφή πίνακος - Κλασσική μορφή - Χαρακτηριστικό πολυώνυμο. - Θεώρημα των Cayley-Hamilton

Πραγματικοί Αριθμοί.  Ανάγκη εισαγωγής των πραγματικών αριθμών. – Ρητές και άρρητες τομές του συνόλου Q των ρητών αριθμών. – Διάταξη και πράξεις πάνω στο σύνολο των τομών. – Ρητοί και ασύμμετροι αριθμοί. Το σύνολο R των πραγματικών αριθμών. – Infimum και Supremum – Αξίωμα του Αρχιμήδη. – Αξίωμα του Dedekind. – Η πραγματική ευθεία. – Ανοικτά και κλειστά διαστήματα. – Περιοχή σημείου. – Ανοικτά και κλειστά σύνολα. – Θεωρήματα των Bolzano-Weierstrass, Cantor, και Heine-Borel.

Σύνολα. Αξιωματικά συστήματα. – Σύστημα των Zermelo-Fraenkel. – Δυϊκές σχέσεις. – Σχέση ισοδυναμίας. – Συναρτησιακή σχέση. – Θεώρημα ισοδυναμίας των Cantor-Bernstein. – Σχέση διατάξεως. – Φράγματα, αξεπέραστα

στοιχεία. – Συνθήκες μεγίστου-ελαχίστου. – Καλή διάταξη-Λήμμα Zorn. – Θεωρήματα των Zermelo, Hausdorff, Kuratowski-Zorn – Χρονικό – Αντινομία των Burali-Forti – Αντιμετώπιση από Russell.

Σύνολα - Πληθάριθμοι Διατακτικοί αριθμοί - αριθμήσιμα σύνολα - μη αριθμήσιμα σύνολα - πληθάριθμος συνόλου - Θεώρημα Cantor Bernstein - Γενικός ορισμός των πληθαρίθμων - Το πιο φημισμένο πρόβλημα της θεωρίας συνόλων

Το Μιγαδικό επίπεδο. Ευθεία και κύκλος – Δέσμη κύκλων – Κύκλος Απολλωνίου – Αρμονικός λόγος – Απλός και διπλός λόγος – Αντίστροφα σημεία – Μετασχηματισμοί Moebius – Τοπολογία του μιγαδικού επιπέδου – Περιοχή σημείου – Σύνολα ανοικτά και κλειστά – Θεωρήματα των Bolzano-Weierstrass, Heine-Borel – Κριτήριο σύγκλισης του Cauchy – Συμπαγή σύνολα – Συνεκτικά σύνολα.

Fourier Analysis.