Εαρινό Εξάμηνο 2004
Α.Κοντογεώργης
Ώρες μαθήματος: Παρασκευή 17:00-19:00
Γραφείο Διδάσκοντα:
Ηγεμονείο τηλ. 22730-82122
Περιγραφή Μαθήματος:
Οι ελλειπτικές καμπύλες είναι ένα εργαλείο που έχει
τις ρίζες του στην προσπάθεια υπολογισμού των
ελλειπτικών ολοκληρωμάτων, κλάδος στον
οποίο είχαν συνεισφορά μεγάλοι αναλύστες του
προηγούμενου αιώνα Abel, Weierstrass, Jacobi.
Σήμερα, οι ελλειπτικές καμπύλες έχουν πολλές
εφαρμογές στα ίδια τα θεωρητικά μαθηματικά και κυριώς
στην θεωρία αριθμών (Η απόδειξη του Wiles σχετικά με
την αλήθεια του τελευταίου θεωρήματος του Fermat
βασίστηκε στην θεωρία των ελλειπτικών καμπύλων)
αλλά και στις πρακτικές εφαρμογές, κυρίως στην
κρυπτογραφία.
Μία ελλειπτική καμπύλη είναι μία "αλγεβρική
καμπύλη" δήλαδη χοντρικά το σύνολο των σημείων
που μηδενίζουν ένα κατάληλο πολυώνυμο,
αλλά παράλληλα έχει και την δομή αβελιανής ομάδας.
Ο συνδιασμός των δύο αυτών θεωρήσεων της ελλειπτικής
καμπύλης είναι που κάνει την θεωρία ενδιαφέρουσα.
Στο μάθημα θα προσπαθήσουμε να δώσουμε μία εισαγωγή
στην θεωρία των ελλειπτικών καμπύλων και στην
συνέχεια θα προχωρήσουμε να ορίσουμε
κρυπτογραφικά συστήματα βασισμένα στην θεωρία αυτή,
και να δούμε τεχνικές μέσω των οποίων μπορούμε να
εξασφαλίσουμε την ασφάλεια των παραπάνω κρυτογραφικών
συστημάτων, οι οποίες μεταφράζονται στην κατασκευή
ελλειπτικών καμπύλων με δεδομένες ιδιότητες.
Ύλη Μαθήματος:
Ορισμός Ελλειπτικών καμπύλων: η μιγαδική αναλυτική προσέγκιση, η αλγεβρική
προσέγκιση. Ελλειπτικές καμπύλες ορισμένες πάνω από πεπερασμένα σώματα,
το φράγμα του Hasse. Μέθοδοι υπολογισμού πλήθος σημείων ελλειπτικής
καμπύλης, εισαγωγή στην complex multiplication και στην θεωρία κλάσεων
σωμάτων. Εφαρμογές στην κρυπτογραφία.
Σύντομες οδηγίες χρήσης του προγράμματος gp-pari σε ps ,
pdf . Μία μικρή εισαγωγή στο unix (
ps ).
Πόσο ποίο γρήγορο είναι ένα φτηνό μηχάνημα με linux σε σχέση
με ένα πανάκριβο Ultra Sparc με Solaris προκειμένου να τρέξουν το
pari;
η απάντηση
Ημερολόγιο μαθήματος
1o φυλάδιο ασκήσεων, (παράδοση μέχρι 12/3/2004)
ps pdf
2o φυλάδιο ασκήσεων, (παράδοση μέχρι 26/3/2004)
ps pdf
Ιστορικά για το τελευταίο θεώρημα του Fermat.
Βιβλιογραφία:
-
Silverman Joe, The Arithmetic of Elliptic Curves Springer GTM
-
Σημειώσεις
του Γιάννη Αντωνιάδη.
-
J. Milne,
Σημειώσεις ελλειπτικών καμπύλων.
-
Knapp Elliptic Curves (Princeton University Press)
-
J.Tate J. Silverman Rational points on Elliptic curves.
-
Blake-Seroussi-Smart, Elleiptic Curves in Cryptography LMS LNS 265
-
J. Silverman Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves.
Links:
-
Number Theory Web
-
H ιστοσελίδα του
pari-gp
-
Αναζήτηση
στο δίκτυο...