Ημερολόγιο Μαθήματος Ελλειπτικών Καμπύλων
Εδω υπάρχουν σημειώσεις σχετικά με την
ύλη που καλύφτηκε σε κάθε μάθημα.
Παρασκευή 27 Φεβρουαρίου 2004
Είσαγωγικό μάθημα. Αλγεβρικά σύνολα. Το πρόβλημα των πυθαγορίων
τριάδων και η ρητή παραμετρικοποίηση του κύκλου.
Οι ελλειπτικές καμπύλες ως πηλίκα των μιγαδικών αριθμών modulo διακριτή
υποομάδα. Ορισμός της προβολικής ευθείας και του προβολικού επιπέδου.
Δευτέρα 1 Μαρτίου 2004
Συσχέτιση του αφινικού επιπέδου με τον προβολικό χώρο. Η ευθεία στο
άπειρο. Ορισμός προβολικών καμπύλων μέσω ομογενών πολυωνύμων.
Ευθείες στον προβολικό χώρο. Αναφορά στο θεώρημα του Bezout.
Ομαλές και ιδιόμορφες καμπύλες. Ορισμός ελλειπτικής καμπύλης.
Παρασκευή 12 Μαρτίου 2004
Προβολικές καμπύλες και ιδιομορφίες. Χαρακτηρισμός ιδιόμορφων
σημείων με βάση τον τύπο του Taylor. Nodes, cusps.
Ορισμός της πολλαπλότητας τομής καμπύλων, θεώρημα του Bezout.
Παραδείγματα.
Δευτέρα 22 Μαρτίου 2004
Οι μη ιδιόμορφες αλγεβρικές καμπύλες είναι ανάγωγες.
Ο δακτύλιος πολυωνυμικών συναρτήσεων μίας αλγεβρικής
καμπύλης και το σώμα συναρτήσεων. Γενικός ορισμός
σωμάτων συναρτήσεων μιας μεταβλητής.
Τρίτη 29 Μαρτίου 2004
Ορισμός δακτύλιων εκτίμησης σωμάτων συναρτήσεων.
Οι δακτύλιοι εκτίμισης είναι τοπικοί και περιοχές
κυριών ιδεωδών. Local uniformizers. Παραδείγματα
από το σώμα μερομόρφων συναρτήσεων στην μιγαδική
ανάλυση. Ανάλυση σε σειρές Taylor και Laurent.
Η έννοια της θέσης. Ορισμός πόλου και ρίζας συνάρτησης
σε συγκεκριμένη θέση.
Παρασκευή 23 Απριλίου 2004
Κατασκευή των χώρων L(D) για δεδομένο divisor D επι
αλγεβρικής καμπύλης.
Το θεώρημα των Riemann-Roch (αναφορά) και εφαρμογές του στην
θεωρία των ελλειπτικών καμπύλων (ορισμός δομής ομάδας και
κατασκευής της γενικευμένης εξίσωσης Weierstrass.)