Ασκήσεις Ελλειπτικών Καμπύλων

2 Φυλλάδιο

Παράδοση Παρασκευή 26 Μαρτίου

1. Θεωρούμε ένα ομογενές πολυώνυμο $f(x,y,z) \in k[x,y,z]$, βαθμού $n$. Αποδείξτε ότι
   $$\nabla f (x_0,y_0,z_0)= n f(x,y,z).$$
   Δείξτε ότι στην περίπτωση ομογενών πολυωνύμων, το να ελέγξουμε αν ένα σημείο $(x_0:y_0:z_0) \in \mathbb{P}^1(k)$, είναι η όχι ιδιόμορφο αρκεί να κυτάξουμε μόνο τις μερικές παραγώγους του.
2. Θεωρήστε την ελλιπτική καμπύλη στην ((μακρά)) μορφή του Weierstrass,
   $$E:y^2z+a_1 xyz+a_3 yz^2 =x^3+a_2x^2z+a_4xz^2+a_6 z^3.$$
   Διατυπώστε τον ορίσμο της χαρακτηριστικής ενός σώματος. Αποδείξτε ότι αν η χαρακτηριστική του σώματος $Κ$ είναι διαφορετική του $2,3$, τότε ο μετασχηματισμός
   $$x=x'-b_2/12, y=y'-\frac{a_1}{2} \left( x' -b_2/12 \right) -a_3/2,$$
   όπου $b_2=a_1^2+4a_2,$ φέρνει την ελλειπτική καμπύλη στην μορφή
   $$E: y^2=x^3 +ax +b,$$
   για κάποια κατάλληλα $a,b$.
3. Έστω $P,Q$ διαφορετικά ρητά σημεία της $Ε$ με συντεταγμένες $(x_1,y_1)$ και $(x_2,y_2)$ αντίστοιχα. Αποδείξτε ότι το σημείο $P+Q$ αν $P\neq \pm Q$ έχει συντεταγμένες $(x_3,y_3)$ που δίνονται από τον τύπο:
   $$x_3=\lambda^2 -x_1 -x_2, y_3=-\lambda x_3 -\nu,$$
   όπου $\lambda=(y_1-y_2)/(x_1-x_2)$ και $\nu=y_1-\lambda x_1$.
4. Να χρησιμοποιήσετε ένα πρόγραμμα όπως το Maple, Mathematica προκειμένου να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των καμπύλων:
   $$y^2=x^3-1,\quad, y^2=x^3+1, \quad y^2=x^3-3x+3$$
   $$y^2=x^3-4x,\quad,y^2=x^3-x, \quad y^2=x^3.$$

5. Θεωρήστε την ελλειπτική καμπύλη που ορίζεται από την
   $$y^2z=x^3+axz^2+bz^3,$$
   σαν υποσύνολο του $\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_p)$, όπου $p$ πρώτος αριθμός και $\mathbb{F}_p$ είναι το σώμα με $p$ στοιχεία. Αποδείξτε ότι η ελλειπτική καμπύλη έχει πεπερασμένα το πλήθος στοιχεία. Θεωρήστε το σύμβολο του Legendre $( \frac{\cdot}{p}$, και απόδειξτε ότι το πλήθος των σημείων της ελλειπτικής καμπύλης δίνεται από τον τύπο
   $$\char93 E(\mathbb{F}_p) =1 + q+ \sum_{x\in \mathbb{F}_p} \left( \frac{ x^3 +ax+b}{p} \right).$$