Τοπολογία Μετρικών Χώρων

Χειμερινό Εξάμηνο 2009
Α.Κοντογεώργης
Αποτελεσματα
Ώρες μαθήματος: Τετάρτη 18:00-20:00, Πέμπτη 18:00-20:00, Παρασκευή 9:00-11:00

Γραφείο Διδάσκοντα: Ηγεμονείο τηλ. 22730-82122

Ημερολόγιο Μαθήματος:
14/10/2009 Ορισμός μετρικής, παραδείγματα μετρικών στο R^n, σε χώρους ακολουθιών και στο C[a,b]. Διακριτή μετρική.
15/10/2009 Απόδειξη της ανισότητας Cauchy-Schwarz. Ορισμός ανοιχτής σφαίρας και παραδείγματα. Οι τύποι του De Morgan.
21/10/2009 Ορισμός ανοιχτού συνόλου, Παραδείγματα. Οι ανοιχτές σφαίρες είναι ανοιχτά σύνολα. Κάθε ανοιχτό σύνολο είναι ενώση ανοιχτών σφαιρών.
22/10/2009 Ορισμός κλειστού συνόλου. Συμπεριφορά ανοιχτών και κλειστών συνόλων ως προς ενώσεις και τομές. Παραδείγματα. Η έννοια της τοπολογίας. Ανοιχτά σύνολα με την σχετική μετρική σε υποσύνολα του αρχικού χώρου.
23/10/2009 Ορισμός κλειστότητας,εσωτερικού και σύνορου συνόλου. Ιδιότητες και παραδείγματα.
29/10/2009 Μεμονομένο σημείο, σημείο συσσώρευσης, Παραδείγματα.
30/10/2009 Πυκνά σύνολα, διαχωρίσιμοι χώροι. Λύσεις ασκήσεων.
4/11/2009 Απόσταση σημείου από σύνολο. Χαρακτηρισμός κλειστότητας από την απόσταση. Σύγκλιση ακολουθιών σε μετρικούς χώρους παραδείγματα.
5/11/2009 Μοναδικότητα ορίου. Χαρακτηρισμός κλειστού συνόλου από την σύγκλιση ακολουθιών. Υποακολουθίες, παραδείγματα.
6/11/2009 Ορισμός συνέχειας.Ισοδύναμοι ορισμοί συνεχών συναρτήσεων, όπως αντιστροφή ανοιχτών και κλειστών και αντιμετάθεση με την κλειστότητα.
11/11/2009 Η συνέχεια είναι ισοδύναμη με την αντιμετάθεση ορίου και συνάρτησης. Ομοιόμορφη συνέχεια, παραδείγματα.
12/11/2009
12/11/2009
13/11/2009
18/11/2009 Ορισμός συμπαγούς μετρικού χώρου. Παραδείγματα. Απόδειξη ότι το [a,b] είναι συμπαγές.
19/11/2009 Κλειστά υποσύνολα συμπαγούς είναι συμπαγή. Συμπαγή είναι κλειστά και φραγμένα. Εικόνες συμπαγών μέσω συνεχών συναρτήσεων. Συνεχής συνάρτηση από συμπαγές είναι κλειστή.
20/11/2009 Συναρτήσεις από συμπαγές στους πραγματικούς είναι φραγμένες. Ασκήσεις.
25/11/2009 Συνεχής συνάρτηση από συμπαγές σύνολο είναι ομοιόμορφα συνεχής. Ορισμός και ιδιότητες ακολουθιών Cauchy.
26/11/2009 Πλήρεις μετρικοί χώροι. Παραδείγματα. Απόδειξη ότι ο C[-1,1] με την ρ1 μετρική δεν είναι πλήρης. Απόδειξη ότι το αξίωμα της πληρώτητας στους πραγματικούς συνεπάγεται ότι οι πραγματικοί αριθμοί είναι πλήρης.
27/11/2009 Ο χώρος C[a,b] με την sup μετρική είναι πλήρης. Συστολές, θεώρημα σταθερού σημείου, Θεώρημα Cantor.
2/12/2009 Ορισμός συνεκτικών συνόλων, ίσοδύναμοι χαρακτηρισμοί. Το [α,β] είναι συνεκτικό. Χαρακτηρισμός συνεκτικών υποσυνόλων της πραγματικής ευθείας, παραδείγματα.
3/12/2009 Εικόνα συνεκτικού μέσω συνεχούς συνάρτησης είναι συνεκτικό. Θεώρημα ενδιάμεσης τιμής. Δρομοσυνεκτικότητα, συνεκτικές συνιστώσες. Παραδείγματα.
4/12/2009 Ανάλυση σε συνεκτικές συνιστώσες, παραδείγματα, πλήρως ασυνεκτικοί χώροι.
9/12/2009 Ορισμός ακολουθιακής συμπάγειας, πλήρως φραγμένου μετρικού χώρου, παραδείγματα.
10/12/2009 Σχέση συμπάγειας, ακολουθιακής συμπάγεις και πλήρως φραγμένων μετρικών χώρων.
11/12/2009 Ασκήσεις
Ασκήσεις
1o Φυλλάδιο Ασκήσεων pdf αρχείο. Παράδοση 21/10/09.
2o Φυλλάδιο Ασκήσεων pdf αρχείο. Παράδοση 30/10/09.
3o Φυλλάδιο Ασκήσεων pdf αρχείο. Παράδοση 13/11/09.
4o Φυλλάδιο Ασκήσεων pdf αρχείο. Παράδοση 10/12/09.
5o Φυλλάδιο Ασκήσεων pdf αρχείο. Παράδοση 13/01/10.


Ύλη Μαθήματος
1η Εβδ.: Ορισμός μετρικού χώρου, παραδείγματα από Ευκλείδειους χώρους από χώρους με νόρμα, παράδειγμα-εξήγηση σχετικού υπόχωρου και σχετικής μετρικής, διακεκριμμένη μετρική.
2η Εβδ.: Ορισμός ανοικτής και κλειστής μπάλας, ανοικτού και κλειστού συνόλου. Απλά παραδείγματα από Ευκλείδειους χώρους και «μη γνωστά» παραδείγματα (π.χ. διακεκριμένος μετρικός χώρος). Αναφορά στην έννοια της τοπολογίας: η συλλογή των ανοικτών συνόλων σε ένα μετρικό χώρο είναι κλειστή ως προς ενώσεις και πεπερασμένες τομές.
3η Εβδ.: Ορισμός οριακού σημείου, σημείου συσσωρεύσεως, μεμονωμένου σημείου και εσωτερικού σημείου. Παραδείγματα και σχέσεις μεταξύ των. Χαρακτηρισμός των κλειστών συνόλων μέσω των σημείων συσσωρεύσεως. Ορισμός συνόρου, παραδείγματα και συνολοθεωρητικές σχέσεις.
4η Εβδ.: Απόσταση σημείου από σύνολο, σύνολο από σύνολο, διάμετρος συνόλου, φραγμένα σύνολα. Απόδειξη σχετικών ιδιοτήτων
. 5η Εβδ.: Πυκνά υποσύνολα, διαχωρισιμότητα, παραδείγματα διαχωρίσιμων και μη διαχωρίσιμων μετρικών χώρων.
6η Εβδ.: Συμπάγεια, απόδειξη ότι [a, b] συμπαγές και ότι σε τυχαίο μετρικό χώρο ισχύει: συμπαγές ή κλειστό και φραγμένο. Κλειστό υποσύνολο συμπαγούς είναι συμπαγές.
7η Εβδ.: Ακολουθίες σε μετρικούς χώρους (με σύντομη επανάληψη όλων των βασικών ιδιοτήτων, π.χ. υπακολουθίες), όρια ακολουθιών και απόδειξη ότι p Ξ A Ϋ $ {xn}nΞN στο Α : xn ? p.
8η Εβδ.: Συναρτήσεις μεταξύ μετρικών χρόνων, όρια συναρτήσεων, συνέχεια. Χαρακτηρισμός συνέχειας με ανοικτά σύνολα, συνεχής εικόνα συμπαγούς είναι συμπαγές. Ομοιόμορφη συνέχεια, απόδειξη ότι κάθε συνεχής με συμπαγές πεδίο ορισμού είναι ομοιόμορφα συνεχής.
9η Εβδ.: Ακολουθίες Cauchy, πληρότητα, πλήρεις μετρικοί χώροι, απόδειξη θεωρήματος Baire (με θεώρημα τομής Cantor). Πλήρωση μετρικού χώρου. Space filling curve.
10η Εβδ.: Ορισμός συνεκτικότητας, παραδείγματα και απόδειξη ότι κάθε διάστημα στο R είναι συνεκτικό. Χαρακτηρισμός συνεκτικών μετρικών χώρων μέσω γνησίων μη κενών υποσυνόλων που είναι ταυτόχρονα ανοικτά και κλειστά. Συνεχής εικόνα συνεκτικού είναι συνεκτικό, απόδειξη ότι o Rn και οι μπάλες στον Rn είναι συνεκτικά σύνολα.
11η Εβδ.: Ορισμός και ιδιότητες συνεκτικής συνιστώσας. Ορισμός και ιδιότητες δρομοσυνεκτικότητας. Απόδειξη ότι δρομοσυνεκτικότητα συνεπάγεται συνεκτικότητα.
12η Εβδ.: Απόδειξη ότι η συμπάγεια, η ακολουθιακή συμπάγεια και η ιδιότητα Bolzano Weistrass είναι ισοδύναμες. Ορισμός πλήρως φραγμένου μετρικού χώρου και σχέση των ανωτέρω ιδιοτήτων με την ιδιότητα του πλήρως φραγμένου. Διατύπωση και απόδειξη θεωρήματος Ascoli. Θεωρήματα σταθερού σημείου, θεωρήματα Dini και Stone-Weistrass για συμπαγείς μετρικούς χώρους.