Τέταρτο Θερινό Σχολείο στην Θεωρία Τελεστών
Αθήνα, 6 έως 10 Ιουλίου 2015
Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ
Ελληνικά | English
Ανακοίνωση
Οι θεματικές ενότητες του σχολείου περιλαμβάνουν:
1. Αναπαραστάσεις ομάδων και C*-άλγεβρες.
2. Εργοδική θεωρία και άλγεβρες von Neumann.
3. Δυναμικά συστήματα και άλγεβρες τελεστών.
4. Άλγεβρες τελεστών και θεωρία κβαντικής πληροφορίας.
Παράλληλα θα διεξαχθεί Workshop στο οποίο θα παρουσιαστούν ομιλίες από νέους ερευνητές στην ευρύτερη περιοχή της Ανάλυσης.
Οι διαλέξεις θα γίνουν στο Τμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αθηνών, στην Αίθουσα Γ31 (3ος όροφος από την κεντρική είσοδο του Τμήματος Μαθηματικών).
Επίσης τα απογεύματα της Τρίτης και την Τετάρτης θα διεξαχθεί διημερίδα με τίτλο "Ασυμπτωτική θεωρία κυρτών σωμάτων". Δείτε εδώ.
Για πληροφορίες μπορείτε να απευθύνεστε στους:
Μιχάλη Ανούση (Πανεπιστήμιο Αιγαίου), mano@aegean.gr
Eυγένιο Κακαριάδη (Newcastle University), evgenios.kakariadis@ncl.ac.uk
Αριστείδη Κατάβολο (ΕΚΠΑ), akatavol@math.uoa.gr
Πρόγραμμα
10:00 - 10:50: Εργοδική θεωρία και άλγεβρες von Neumann (Αριστείδης Κατάβολος).
11:00 - 11:50: Εισαγωγή στις C*-άλγεβρες (Δήμος Δριβαλιάρης).
12:00 - 12:30: Διάλειμμα.
12:30 - 13:20: Αναπαραστάσεις ομάδων και άλγεβρες τελεστών (Μιχάλης Ανούσης).
13:30 - 14:20: Εισαγωγή στις C*-άλγεβρες (Δήμος Δριβαλιάρης).
Τρίτη 7 Ιουλίου
10:00 - 10:50: Εισαγωγή στις C*-άλγεβρες (Δήμος Δριβαλιάρης).
11:00 - 11:50: Αναπαραστάσεις ομάδων και άλγεβρες τελεστών (Μιχάλης Ανούσης).
12:00 - 12:30: Διάλειμμα.
12:30 - 13:20: Εισαγωγή στις C*-άλγεβρες (Δήμος Δριβαλιάρης).
13:30 - 14:20: Εργοδική θεωρία και άλγεβρες von Neumann (Αριστείδης Κατάβολος).
Τετάρτη 8 Ιουλίου
10:00 - 10:50: Το πρόβλημα συζυγίας για C*-δυναμικά συστήματα (Ευγένιος Κακαριάδης).
11:00 - 11:50: Εργοδική θεωρία και άλγεβρες von Neumann (Αριστείδης Κατάβολος).
12:00 - 12:30: Διάλειμμα.
12:30 - 13:20: Αναπαραστάσεις ομάδων και άλγεβρες τελεστών (Μιχάλης Ανούσης).
14:05 - 14:30: Ισχυρή ισοδυναμία Morita για χώρους τελεστών (Γιώργος Ελευθεράκης).
Πέμπτη 9 Ιουλίου
10:00 - 10:50: Το πρόβλημα συζυγίας για C*-δυναμικά συστήματα (Ευγένιος Κακαριάδης).
11:00 - 11:50: Άλγεβρες Fourier σε τοπικά συμπαγείς ομάδες (Γινκ-Φεν Λιν).
12:00 - 12:30: Διάλειμμα.
12:30 - 13:20: Εργοδική θεωρία και άλγεβρες von Neumann (Αριστείδης Κατάβολος).
13:30 - 14:20: Εισαγωγή σε συστήματα τελεστών (Ιβάν Τοντορώφ).
15.05 - 15.30: Μη αυτοσυζυγείς άλγεβρες τελεστών και reflexivity (Λευτέρης Καστής).
Παρασκευή 10 Ιουλίου
10:00 - 10:50: Εισαγωγή σε συστήματα τελεστών (Ιβάν Τοντορώφ).
11:00 - 11:50: Άλγεβρες Fourier σε τοπικά συμπαγείς ομάδες (Γινκ-Φεν Λιν).
12:00 - 12:30: Διάλειμμα.
12:30 - 13:20: Το πρόβλημα συζυγίας για C*-δυναμικά συστήματα (Ευγένιος Κακαριάδης).
13:30 - 14:20: Εισαγωγή σε συστήματα τελεστών (Ιβάν Τοντορώφ).
15.05 - 15.30: Δυαδικά βάρη στον R^n και αντίστροφες Holder ανισότητες (Ελευθέριος Νικολιδάκης).
Περιλήψεις
Σχολείο
Τίτλος: Αναπαραστάσεις ομάδων και άλγεβρες τελεστών.
Περίληψη: Θα παρουσιαστούν βασικές έννοιες της Θεωρίας Αναπαραστάσεων Ομάδων καθώς και η σύνδεσή της με την Θεωρία των Αλγεβρών Τελεστών. Θα παρουσιαστούν αυτοσυζυγείς και μη αυτοσυζυγείς άλγεβρες τελεστών που παράγονται από αναπαραστάσεις ομάδων.
Διαφάνειες των διαλέξεων: πρώτη διάλεξη, δεύτερη διάλεξη, τρίτη διάλεξη.
Ομιλητής: Δήμος Δριβαλιάρης (Πανεπιστήμιο Αιγαίου).
Τίτλος: Εισαγωγή στις C*-άλγεβρες.
Περίληψη: Θα παρουσιάσουμε μια στοιχειώδη εφαρμογή στη θεωρία των C*-αλγεβρών. Θα δώσουμε παραδείγματα C*-αλγεβρών και θα συζητήσουμε την θεωρία Gelfand για τις μεταθετικές C*-άλγεβρες (σύμφωνα με την οποία κάθε μεταθετική C*-άλγεβρα μπορεί να ταυτισθεί με την άλγεβρα όλων των συνεχών συναρτήσεων σ' έναν τοπικά συμπαγή χώρο Hausdorff X που μηδενίζονται στο άπειρο) και το Θεώρημα Gelfand-Naimark theorem (σύμφωνα με το οποίο κάθε μεταθετική C*-άλγεβρα μπορεί να ταυτισθεί με μια υπάλγεβρα της άλγεβρα B(H) όλων των φραγμένων γραμμικών τελεστών σ' έναν χώρο Hilbert H).
Βιβλιογραφία: 1. J. A. Erdos, C*-Algebras
2. D. Williams, Lecture Notes on C*-Algebras
Ομιλητής: Ευγένιος Κακαριάδης (Newcastle University).
Τίτλος: Το πρόβλημα συζυγίας για C*-δυναμικά συστήματα.
Περίληψη: Τα τελευταία 50 χρόνια, η μη-μεταθετική γεωμετρία επικεντρώνεται στην χρήση των αλγεβρών τελεστών για την κωδικοποίηση γεωμετρικών και τοπολογικών δομών. Οι άλγεβρες τελεστών αποτελούνται από (φραγμένους ως προς την νόρμα) άπειρους πίνακες μιγαδικών αριθμών. Κεντρικό θέμα του προγράμματος είναι το κατά πόσο τα χαρακτηριστικά των δομών μεταφράζονται σε ιδιότητες των σχετιζομένων αλγεβρών τελεστών, καθώς και η χρήση αναλλοιώτων για την κατηγοριοποίηση των πρώτων. Υπάρχουν δύο αλληλο-σχετιζόμενες ερωτήσεις που διαμορφώνουν το πλαίσιο της έρευνας:
(ερ.1) Ποια (επιθυμητά) χαρακτηριστικά της δομής χαρακτηρίζουν τις άλγεβρες τελεστών;
(ερ.2) Ποιο είναι το (επιθυμητό) επίπεδο κατηγοριοποίησης των δομών;
Παραδείγματα δομών που έχουν εξεταστεί μέχρι τώρα αναφέρονται σε ψηφιδωτά, γραφήματα, δυναμικά συστήματα, ομάδες, ημιομάδες, πολλαπλότητες, ομογενή ιδεώδη, και στοχαστικούς πίνακες. Σε αυτήν την θεματική θα παρουσιάσουμε πώς μια συγκεκριμένη κλάση μη αυτοσυζυγών αλγεβρών κατηγοριοποιεί C*-δυναμικά συστήματα ως προς την σχέση συζυγίας.
Ομιλητής: Αριστείδης Κατάβολος (ΕΚΠΑ).
Τίτλος: Εργοδική θεωρία και άλγεβρες von Neumann.
Περίληψη: Θα παρουσιασθεί μια στοιχειώδης εισαγωγή στις άλγεβρες τελεστών σε χώρους Hilbert. Ειδικότερα θα αναφερθούμε στις κατασκευές αλγεβρών von Neumann από χώρους μέτρου (πιθανότητας) στους οποίους δρα μια ομάδα μετασχηματισμών, και στην αλληλεπίδραση μεταξύ μετροθεωρητικών ιδιοτήτων της δράσης και αλγεβρικών ιδιοτήτων της αντίστοιχης άλγεβρας. Στην ειδική περίπτωση που ο χώρος μέτρου είναι ένα σημείο, προκύπτει η λεγόμενη άλγεβρα von Neumann της ομάδας.
Διαφάνειες των διαλέξεων.
Ομιλητής: Γινκ-Φεν Λιν (Queen's University Belfast).
Τίτλος: Άλγεβρες Fourier σε τοπικά συμπαγείς ομάδες.
Περίληψη: Για μια τοπικά συμπαγή ομάδας G μπορούμε να ορίσουμε μια άλγεβρα από συναρτήσεις στην G, την άλγεβρα Fourier. Η άλγεβρα Fourier είναι μια κανονική μεταθετική άλγεβρα Banach με τις κατά σημείο πράξεις πολλαπλασιασμού και αθροίσματος, και της οποίας το φάσμα είναι η G. Παρόλα αυτά η δομή της είναι πολύ διαφορετική από την δομή της άλγεβρας των συνεχών συναρτήσεων. Σε αυτήν την θεματική θα παρουσιάσουμε τον ορισμό της άλγεβρας Fourier και τις βασικές της ιδότητες. Εφόσον το επιτρέψει ο χρόνος, θα μιλήσουμε επίσης και για προβλήματα μορφισμών μεταξύ αλγεβρών Fourier.
Ομιλητής: Ιβάν Τοντορώφ (Queen's University Belfast).
Τίτλος: Εισαγωγή στα συστήματα τελεστών.
Περίληψη: Αυτή η θεματική στοχεύει στην παρουσίαση των βασικών ιδοτήτων και εφαρμογών των συστημάτων τελεστών. Θα παρουσιάσουμε δύο βασικά θεωρήματα: το Θεώρημα των Choi-Effros και το Θεώρημα επέκτασης του Arveson, που αποτελούν τη βάση της θεωρίας. Θα συζητήσουμε κάποιες κατηγορικές κατασκευές, όπως τα τανυστικά γινόμενα και τα πηλίκα. Εφόσον το επιτρέψει ο χρόνος, θα παρουσιάσουμε επίσης πώς τα τανυστικά γινόμενα των συστημάτων τελεστών μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να διαχωρίσουμε κλάσεις κβαντικών συσχετισμών, που είναι σημαντικοί στην Κβαντική Φυσική, και ειδικότερα στην Θεωρία Κβαντικής Πληροφορίας.
Workshop
Τίτλος: Συμπαγείς πολλαπλασιαστικοί τελεστές σε nest άλγεβρες.
Περίληψη: Οι πολλαπλασιαστικοί και γενικότερα οι elementary τελεστές έχουν μελετηθεί συστηματικά τις τελευταίες δεκαετίες. Θα παρουσιάσουμε νέα αποτελέσματα που αφορούν τη συμπάγεια των τελεστών αυτών σε nest άλγεβρες. Συγκεκριμένα χαρακτηρίζουμε τους συμπαγείς και ασθενώς συμπαγείς πολλαπλασιαστικούς τελεστές που ορίζονται σε nest άλγεβρες. Επιπλέον, δείχνουμε ότι δεν υπάρχουν μη μηδενικοί, ασθενώς συμπαγείς πολλαπλασιαστικοί τελεστές στην άλγεβρα
Ομιλητής: Γιώργος Ελευθεράκης (Πανεπιστήμιο Πατρών).
Τίτλος: Ισχυρή ισοδυναμία Morita για χώρους τελεστών.
Περίληψη: Θα ορίσουμε και θα εξετάσουμε τις έννοιες της ισχυρής Δ-ισοδυναμίας και ισχυρής TRO-ισοδυναμίας για χώρους τελεστών. Θα δείξουμε ότι αυτές οι σχέσεις λειτουργούν κατα αναλογία προς την ισχυρή ισοδυναμία Morita για την κατηγορίας των C*-αλγεβρών. Ειδικότερα, θα αποδείξουμε ότι η ισχυρή Δ-ισοδυναμία συμπίπτει με την έννοια του ευσταθούς ισομορφισμού όταν η αναμενόμενη υπόθεση διαχωρισιμότητας ισχύει, και ότι ισχυρά TRO-ισοδύναμοι χώροι τελεστών δέχονται μια ισοδυναμία σχετιζομένων αναπαραστάσεων. Ως εφαρμογές θα παρουσιάσουμε ότι ισχυρά Δ-ισοδύναμοι χώροι τελεστών έχουν ευσταθώς ισομορφικούς δεύτερους δυϊκούς και ισχυρά Δ-ισοδύναμα TRO-envelopes. Στην περίπτωση των μοναδιαίων χώρων τελεστών, η ισχυρή Δ-ισοδυναμία επάγει ευσταθώς ισομορφικά C*-envelopes.
Ομιλητής: Λευτέρης Καστής (Lancaster University).
Τίτλος: Μη αυτοσυζυγείς άλγεβρες τελεστών και reflexivity.
Περίληψη: Μια άλγεβρα τελεστών καλείται reflexive όταν το σύνολο των αναλλοίωτων υποχώρων της είναι ικανό να την καθορίσει. Η μελέτη μη αυτοσυζυγών reflexive αλγεβρών ξεκίνησε το 1966 από τον Sarason. Τα τελευταία χρόνια η έρευνα επικεντρώνεται σε άλγεβρες οι οποίες παράγονται από ημιομάδες τελεστών. Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι η Fourier binest άλγεβρα, η οποία σχετίζεται με τις σχέσεις αντιμετάθεσης του Weyl. Στην διάλεξη αυτή θα παρουσιάσουμε νέα αποτελέσματα στην άλγεβρα που παράγεται από τρεις unitary ημιομάδες τελεστών. Η ομιλία βασίζεται σε κοινή εργασία με τον Stephen Power.
Ομιλητής: Ανδρέας Μητρόπουλος (ΕΚΠΑ).
Τίτλος: Θεωρία Ramsey για δίκτυα.
Περίληψη: Εισάγοντας την νέα γενική έννοια της κλάσης των coideals σε ένα άπειρο κατευθυνόμενο σύνολο X, μια κλάση που περιέχει την κλάση των υπερφίλτρων στο X που αποτελούνται από τα ομοτελικά υποσύνολα του X, είμαστε σε θέση να αποδείξουμε διαμεριστικά αποτελέσματα για τις άπειρες ή τις πεπερασμένες ακολουθίες στο σύνολο X δοθέντος ενός coideal επί του X. Η θεωρία μας επεκτείνει την κλασσική άπειρη θεωρία Ramsey(συμπεριλαμβανομένων των θεωρημάτων Ramsey, Nash-Williams, Galvin-Prikry) και επιπροσθέτως περιέχει ως ειδικές περιπτώσεις (a) την αντίστοιχη θεωρία για coideals στο σύνολο των φυσικών αριθμών που οφείλεται στους Louveau, Mathias, Farah και Todorcevic, (b) το διαμεριστικό θεώρημα των Milliken-Taylor για ακολουθίες πεπερασμένων υποσυνόλων των φυσικών αριθμών, και (c) τα διαμεριστικά θεωρήματα των Carlson, Bergelson-Blass-Hindman, Φαρμάκη για ακολουθίες λέξεων. Αυτή η εργασία είναι κοινή με τους Β.Φαρμάκη, Δ.Καραγεώργο και Α.Κουτσογιάννη.
Ομιλητής: Ελευθέριος Νικολιδάκης (ΕΚΠΑ).
Τίτλος: Δυαδικά βάρη στον R^n και αντίστροφες Holder ανισότητες.
Περίληψη: Παρουσιάζουμε ιδιότητες δυαδικών βαρών στον R^n, ή απλούστερα στον μοναδιαίο κύβο [0,1]^n, δηλαδή συναρτήσεων που ικανοποιούν μία αντίστροφη Holder ανισότητα για τους δυαδικούς υποκύβους του 0,1]^n, για μία δύναμη p>1 και μία σταθερά c>1. Πιο συγκεκριμένα αποδεικνύουμε ότι αν θεωρήσουμε την συνάρτηση που προκύπτει αναδιατάσσοντας την αρχική συνάρτηση (βάρος), ώστε να είναι φθίνουσα και αριστερά συνεχής (ορισμένη στο (0,1]), τότε αυτή ικανοποιεί επίσης μία αντίστροφη Holder ανισότητα σε όλα τα υποδιαστήματα του (0,1], της μορφής (0,t], με σταθερά μικρότερη ή και ίση του 2^nc-2^n+1. Σαν συμπέρασμα προκύπτει ότι το αρχικό βάρος έχει την ιδιότητα να ανήκει σε μία κλάση χώρων L^q, για κάποια q>p, για τα οποία κάνουμε μία εκτίμηση για το εύρος του διαστήματος στο οποίο ανήκουν. Για την προσέγγιση του παραπάνω προβλήματος, χρησιμοποιούμε στοιχειώδη θεωρία δυαδικών μεγιστικών τελεστών στον R^n, καθώς και θεωρία βαρών σε Ευκλείδειους χώρους. Πρόκειται για εργασία κοινή με τον κ. Αντώνη Μελά.
Ομιλητής: Δημήτριος Χατζάκος (University College London).
Τίτλος: Φασματική θεωρία σε υπερβολικούς χώρους και απαρίθμηση σε διακριτές υποομάδες της SL(2,R).
Περίληψη: Η απαρίθμηση συνδεσμικών σημείων σε ευκλείδιους χώρους αποτελεί κλασσικό πρόβλημα στην αναλυτική θεωρία αριθμών, ενώ τα βασικά εργαλεία για την μελέτη του έρχονται από την αρμονική ανάλυση στο R^n (τύπος άθροισης Poisson, εκθετικά αθροίσματα). Το αντίστοιχο πρόβλημα σε υπερβολικούς χώρους αποδεικνύεται αρκετά δυσκολότερο, λόγω της γεωμετρίας των χώρων αυτών. Η κύρια μέθοδος για την μελέτη του είναι η φασματική θεωρία της Λαπλασιανής, με χρήση της οποίας αποδεικνύoνται θεωρήματα που δεν είναι δυνατόν προς το παρόν να αποδειχτούν με άλλες μεθόδους (δυναμικά συστήματα, εργοδική θεωρία). Σε αυτήν την ομιλία, μελετάμε δύο διαφορετικά προβλήματα συνδεσμικών σημείων στο υπερβολικό επίπεδο και παρουσιάζουμε μερικά πρόσφατα αποτελέσματα μας.
Συμμετέχοντες
|
Ανδρεόλας Γαβριήλ, Παν. Αιγαίου
Ανούσης Μιχάλης, Παν. Αιγαίου Αντωνοπούλου Ευαγγελία, Heriot Watt University, Edinburgh Βασιλόπουλος Παναγιώτης, ΕΜΠ Βέτας Κωνσταντίνος, Παν. Αιγαίου Βιδάλη Νεφέλη, ΕΚΠΑ Βλάχος Σπυρίδων, Παν. Ιωαννίνων - ΕΑΠ Βουράκης Μύρων Αριστοτέλης, ΕΚΠΑ Γατζούρας Δημήτρης, Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Γεωργακόπουλος Νίκος, ΕΚΠΑ Γιανναράκης Γιώργος, ΕΚΠΑ Γκιώκας Παναγιώτης, ΕΚΠΑ Γόγλη Αθανασία, ΕΚΠΑ Γρηγοράτος Παναγιώτης, ΕΜΠ Δριβαλιάρης Δήμος, Παν. Αιγαίου Ελευθεράκης Γιώργος, Παν. Πατρών Ελευθέριος Λαμπίρης, ΕΚΠΑ Ελευθερίου Αθανάσιος, ΕΚΠΑ Ελμιρο Βετερε, Copenhagen University Ζαμπάρας Χριστόφορος, ΕΚΠΑ Ιωαννίδης Αντώνιος, Παν. Ιωαννίνων Καϊάφα Αγγελική, ΕΚΠΑ Κακαριάδης Ευγένιος, Newcastle University Καμπίτη Έλενα, ΕΚΠΑ Καραγέωργος Δημήτρης, ΕΚΠΑ Karameta Ertval, ΕΚΠΑ Καραχάλιου Ιωάννα, ΕΑΠ Καστής Ελευθέριος, Lancaster University Κατάβολος Αριστείδης, ΕΚΠΑ Κοτζαπαναγιώτου Ευγενία, Παν. Πατρών Κουλουμπού Δήμητρα, ΟΠΑ Κουσίδης Σωκράτης, ΕΑΠ Κώστα Χριστίνα, Παν. Κρήτης Λαδά Αναστασία, Παν. Πατρών Λιάπη Μυρτώ, ΕΑΠ |
Λιβιεράτος Ιωάννης, ΕΚΠΑ
Lin Ying-Fen, Queen's University Belfast Μαγιάτης Χαράλαμπος, Παν. Αιγαίου Μάργα Κωνσταντίνα, Παν. Πατρών Μητρόπουλος Ανδρέας, ΕΚΠΑ Μπαξεβάνης Κυριάκος, Παν. Κρήτης Νικολιδάκης Ελευθέριος, ΕΚΠΑ Οικονομόπουλος Δημήτρης, ΕΚΠΑ Παλαμιώτη Νικολέττα, ΕΚΠΑ Παναγόπουλος Νικόλαος, ΕΚΠΑ Πολιτάκη Ιωάννα- Κλημεντία, Παν. Κρήτης Πολυδεύκη Γεωργία, Παν. Πατρών Σακελαρόπουλος Αλέξιος, ΕΚΠΑ Ρέντζος Στυλιανός, Παν. Αιγαίου Σοροβού Ειρήνη, ΑΠΘ Σουφλέρη Ευσταθία, ΕΚΠΑ Στάμου Μαρία-Νίκη, ΕΚΠΑ Τερεζάκης Αλέξιος, ΕΚΠΑ Todorov Ivan, Queen's University Belfast Τούρλας Παναγιώτης, Παν. Αιγαίου Τσακνάκη Ιωάννα Υβόννη, ΕΚΠΑ Τσάνκο Ιωσήφ, Παν. Κρήτης Τσουκνίδας Ιωάννης, ΕΚΠΑ Τσίγκος Δημήτριος, ΕΚΠΑ Φουκάκη Ζαχαρένια, Παν. Κρήτης Φουστέρη Φλώρα, ΑΠΘ Φρέρης Λουκάς, Παν. Αιγαίου Χατζάκος Δημήτρης, University College London Ψαρομήλιγκος Κώστας, ΕΚΠΑ |