Σύνολα και Αριθμοί

Χειμερινό Εξάμηνο 2003

Διδακτικό Βιβλίο: Σημειώσεις Αντώνη Τσολομύτη.

Ύλη του μαθήματος, σύμφωνα με τον οδηγό σπουδών

Ώρες μαθήματος: Δευτέρα, Τετάρτη, Παρασκευή 9-11 Νο 1 Σχολ.Συγκ. Μεσαίου

Γραφείο Διδάσκοντα: Ηγεμονείο τηλ. 02730-82122

Αποτελέσματα Προόδου Αποτελέσματα εξέτασης Σεπτεμβρίου.

Ημερολόγιο Μαθήματος
Δευτέρα 29 Σεπτεμβρίου 2003
Η έννοια του συνόλου. Το παράδοξο του Russel. Η έννοια του μέλους ενός συνόλου. Υποσύνολο συνόλου, τομή και ένωση, διαφορά και συμμετρική διαφορά και ιδιότητες.

Τετάρτη 1 Οκτωβρίου 2003
Συνέχεια ιδιοτήτων πράξεων με σύνολα. Δυναμοσύνολο συνόλου, συμπλήρωμα συνόλου και ιδιότητες.

Παρασκευή 3 Οκτωβρίου 2003
Το μάθημα δεν διδάχτηκε.

Δευτέρα 6 Οκτωβρίου 2003
Το μάθημα δεν διδάχτηκε.

Τετάρτη 8 Οκτωβρίου 2003
Η έννοια του διατεταγμένου ζεύγους. Καρτεσιανό γινόμενο συνόλων. Ιδιότητες. Σχέσεις, σύνθεση σχέσεων, αντίστροφη σχέση, σχέσεις ισοδυναμίας, κλάσεις ισοδυναμίας.

Παρασκευή 10 Οκτωβρίου 2003
Προβολικό επίπεδο. Σχέσεις διάταξης, φράγματα infimum, supremum, φραγμένα σύνολα. H έννοια της συνάρτησης.

Δευτέρα 13 Οκτωβρίου 2003
Ιδιότητες της ευθείας και αντίστροφης εικόνας σε σχέση με τις συνολοθεωρητικές πράξεις.

Τετάρτη 15 Οκτωβρίου 2003
Συναρτήσεις 1-1 και επί, αντίστροφη συνάρτηση. Μονότονες συναρτήσεις. Λύσεις ασκήσεων.

Παρασκευή 17 Οκτωβρίου 2003
Η ανάγκη του προτασιακού λογισμού. Λογικές προτάσεις. Ιδιότητες προτάσεων. Λύσεις ασκήσεων.

Δευτέρα 20 Οκτωβρίου 2003
Ποσοδείκτες. Η επαγωγή σαν αποδεικτική διαδικασία. Παραδείγματα.

Τετάρτη 22 Οκτωβρίου 2003
Υπολογισμός του αθροίσματος (x+y)^n. Το πλήθος στοιχείων του δυναμοσυνόλου συνόλου με Ν στοιχεία. Καλή διάταξη. Ισοδυναμία καλής διάταξης και αξιώματος της επαγωγής.

Παρασκευή 24 Οκτωβρίου 2003
Το μάθημα δεν διδάχτηκε.

Δευτέρα 27 Οκτωβρίου 2003
Το μάθημα δεν διδάχτηκε.

Τετάρτη 29 Οκτωβρίου 2003
Το αξίωμα της επαγωγής είναι ισοδύναμο με την καλή διάταξη (συνέχεια). Το σύνολο των φυσικών αριθμών. Διαίρεση με πηλίκο και υπόλοιπο, πρώτοι αριθμοί.

Παρασκευή 31 Οκτωβρίου 2003
Απόδειξη θεωρήματος διαίρεσης με πηλίκο και υπόλοιπο. Παραγοντοποίηση αριθμών σε πρώτους παράγοντες. Το θεώρημα του Ευκλείδη για την ύπαρξη άπειρων πρώτων.

Σάββατο 1 Νοεμβρίου 2003 (Αναπλήρωση μαθήματος 3 Οκτωβρίου )
Το σύνολο των ρητών αριθμών σαν το σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας του καρτεσιανού γινομένου των ακεραίων επί τους φυσικούς. Λύση ασκήσεων.

Δευτέρα 3 Νοεμβρίου 2003
Ορισμός των πραγματικών αριθμών με χρήση τομών Dedekind. Κάθε φραγμένο υποσύνολο των πραγματικών έχει supremum. Λύση ασκήσεων.

Τετάρτη 5 Νοεμβρίου 2003
Ορισμός των μιγαδικών αριθμών. Πράξεις και ιδιότητες. Συζηγής μιγαδικός, μέτρο και όρισμα, πολλαπλασιασμός μιγαδικών, τύπος του De Moivre.

Παρασκευή 7 Νοεμβρίου 2003
Ρίζες της μονάδας, ρίζες τυχαίου μιγαδικου αριθμού. Τριγωνική ανισότητα.

Δευτέρα 10 Νοεμβρίου 2003
Παραδείγματα πράξεων με μιγαδικούς αριθμούς. Τριγωνομετρικά αθροίσματα. Η έννοια της ακολουθίας και του ορίου της. Λύση ασκήσεων.

Τετάρτη 12 Νοεμβρίου 2003
Κάθε ακολουθία έχει μονότονη υποακολουθία. Κάθε μονότονη και φραγμένη ακολουθία συγκλίνει. Κάθε φραγμένη ακολουθία έχει συγκλίνουσα υποακολουθία. Παραδείγματα υπολογισμού ορίου με τον ορισμό.

Παρασκευή 14 Νοεμβρίου 2003
Παραδείγματα υπολογισμών ορίου ακολουθίας με βάση τον ορισμό. Όριο αθροίσματος και γινομένου ακολουθιών. Για κάθε πραγματικό αριθμό υπάρχει ακολουθία ρητών που να συγκλίνει σε αυτόν. Δεκαδικές προσεγκίσεις πραγματικών αριθμών. Ακολουθίες Cauchy. Κάθε ακολουθία Cauchy είναι φραγμένη.

Δευτέρα 17 Νοεμβρίου 2003
το μάθημα δεν διδάχτηκε.

Τετάρτη 19 Νοεμβρίου 2003
Οι ακολουθίες Cauchy πραγαμτικών αριθμών συγκλίνουν. Ορισμός των πραγματικών αριθμών με βάση τις ακολουθίες Cauchy ρητών. Λύση ασκήσεων.

Παρασκευή 21 Νοεμβρίου 2003
Ορισμός της λογαριθμικής συνάρτησης σαν εμβαδό ανάμεσα στην γραφική παράσταση της συνάρτησης 1/x και των ευθειών x=1,x=a,y=0. Aπόδειξη ιδιοτήτων του λογάριθμου.

Δευτέρα 24 Νοεμβρίου 2003
Συνέχεια της κατασκευής του λογαρίθμου. Η λογαριθμική συνάρτηση είναι 1-1 και επί. Ορισμός της εκθετικής συνάρτησης σαν αντίστροφης του λογαρίθμου.

Τετάρτη 26 Νοεμβρίου 2003
Ο ορισμός της εκθετικής συνάρτησης σαν όριο της ακολουθίας (1+x/n)^n.

Παρασκευή 28 Νοεμβρίου 2003
Ορισμοί των τριγονομετρικών και υπερβολικών συναρτήσεων και των αντιστρόφων τους. Λύση ασκήσεων.

Δευτέρα 1 Δεκεμβρίου 2003
Εισαγωγή στην έννοια του διανυσματικού χώρου. Γραμμικά ανεξάρτητα και εξαρτημένα διανύσματα. Βάσεις και διάσταση, παραδείγματα.

Τετάρτη 3 Δεκεμβρίου 2003
Μοναδική γραφή διανύσματος σαν γραμμικός συνδιασμός της βάσης. Διανυσμάτικοι υπόχωροι. H θήκη διανυσμάτων. Παραδείγματα.

Παρασκευή 5 Δεκεμβρίου 2003
Ορισμός της έννοιας του πίνακα. Πράξεις μεταξύ πινάκων, πίνακες ειδικής μορφής.

Σάββατο 6 Δεκεμβρίου 2003
Πρόοδος. Θέματα. pdf ps

Δευτέρα 8 Δεκεμβρίου 2003
Ισοδυναμία γραμμικών απεικονίσεων και πινάκων.

Τετάρτη 10 Δεκεμβρίου 2003
Ο πυρήμας μίας γραμμικής απεικόνισης. Το σύνολο λύσεων ομογενούς συστήματος αποτελεί υπόχωρο. Λύση ομογενών συστημάτων με την μέθοδο του Gauss.

Παρασκευή 12 Δεκεμβρίου 2003
Λύση μη ομογενών συστημάτων. Η εικόνα μίας γραμμικής απεικόνισης.

Δευτέρα 15 Δεκεμβρίου 2003
Προσδιορισμός μίας βάσης της εικόνας μίας γραμμικής απεικόνισης και απάντηση στο ερώτημα: πότε ένα σύστημα έχει λύση. Μία γραμμική απεικόνιση είναι 1-1 αν και μόνο αν είναι επί. Προσδιορισμός αντιστρόφου πίνακα.

Τετάρτη 17 Δεκεμβρίου 2003
Λύση ασκήσεων.