Προόδος Σύνολα και Αριθμοί

30 Νοεμβρίου 2003

1. Να αποδείξετε με επαγωγή ότι για κάθε φυσικό αριθμό ισχύει
   $$1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 =\frac{n^2 (n+1)^2}{4}$$

2. Να υπολογιστούν οι δέκατες ρίζες του μιγαδικού αριθμού $10+10i$.
3. Δίνονται οι ακολουθίες πραγματικών αριθμών $(a_n),(b_n),(c_n)$ για τις οποίες ισχύει η ανισότητα
   $$a_n \leq b_n \leq c_n,$$
   και επίσης είναι γνωστό ότι οι ακολουθίες $(a_n),(c_n)$ συγκλίνουν στον αριθμό $\ell \in \mathbb{R}$. Αποδείξτε ότι και η $(b_n)$ συγκλίνει στο $\ell$.
4. Να υπολογιστεί με την βοήθεια του ορισμού ότι:
   $$\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{2 n^2 -3n +1}{3 n^2 -2 n +1} =\frac{2}{3}.$$

Διάρκεια διαγωνίσματος 2 ώρες

Καλή Επιτυχία