ΘΜ.29 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

Διδάσκων: Χρήστος Αθανασιάδης
Γραφείο: 135, x-6367
Ώρες Γραφείου: Τρ, Πε 11-12
Ηλεκτρονική Διεύθυνση: caath AT math.uoa.gr

Διδασκαλία: Πληροφορίες θα δίνονται στην αντίστοιχη ηλεκτρονική τάξη του μεταπτυχιακού προγράμματος σπουδών (κατηγορία θεωρητικών μαθηματικών) του Τμήματος Μαθηματικών.

Στόχος του Μαθήματος: Να μελετηθούν συνδυαστικές δομές και μέθοδοι που εμφανίζονται και παίζουν σημαντικό ρόλο σε ένα ευρύ φάσμα των σύγχρονων μαθηματικών.

Προαπαιτούμενα: Βασικές γνώσεις γραμμικής και αφηρημένης άλγεβρας και κάποια μαθηματική ωριμότητα. Πληροφορίες και σημειώσεις για το αντίστοιχο προπτυχιακό μάθημα υπάρχουν εδώ. Για βασικές γνώσεις και υπόβαθρο στη συνδυαστική (δεν απαιτούνται) προτείνεται το σύγγραμμα Διακριτά Μαθηματικά.

Περιεχόμενο: Απαρίθμηση και γεννήτριες συναρτήσεις, μεταθέσεις και πολυώνυμα Euler, εκθετικές γεννήτριες συναρτήσεις, ο εκθετικός τύπος, ο τύπος αντιστροφής του Lagrange και εφαρμογές στην απαρίθμηση δένδρων. Η αρχή εγκλεισμού-αποκλεισμού και εφαρμογές. Μερικώς διατεταγμένα σύνολα, η συνάρτηση του Möbius, αντιστροφή Möbius, semimodular και γεωμετρικοί σύνδεσμοι, το θεώρημα NBC του Rota, το χαρακτηριστικό πολυώνυμο, εφαρμογές σε παρατάγματα υπερεπιπέδων και χρωματισμούς γραφημάτων, το πολυώνυμο ζήτα μιας μερικής διάταξης. Στοιχεία τοπολογικής συνδυαστικής, το σύμπλεγμα μιας μερικής διάταξης και η χαρακτηριστική Euler, μονοπλεκτικά και κυτταρικά συμπλέγματα, αποφλοιώσιμα (shellable) και Cohen-Macaulay συμπλέγματα και μερικώς διατεταγμένα σύνολα, μερικές διατάξεις του Euler και οι εξισώσεις Dehn-Sommerville. Ρητές γεννήτριες συναρτήσεις, θεωρία των P-διαμερίσεων και P-πολυώνυμα Euler, quasi-συμμετρικές συναρτήσεις.

Βαθμολόγηση: Ασκήσεις για το σπίτι, ή τελική εξέταση, ή και τα δύο, κατά επιλογή του φοιτητή (ενθαρρύνεται η πρώτη επιλογή).

Διαθέσιμα αρχεία (σε μορφή pdf):

• Ανακοίνωση
• Ασκήσεις

Προτεινόμενη Βιβλιογραφία:

• Martin Aigner, Combinatorial Theory, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1979; second printing, Classics in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1997.
  
• Ian Goulden and David Jackson, Combinatorial Enumeration, Dover Publications, Mineola, New York, 1983.
  
• Jeremy L. Martin, Lecture Notes on Algebraic Combinatorics (οι σημειώσεις αυτές είναι διαθέσιμες εδώ).
  
• T. Kyle Petersen, Eulerian Numbers, Birkhauser Advanced Texts, Birkhauser, 2015.
  
• Bruce E. Sagan, Combinatorics: The Art of Counting, American Mathematical Society, υπό έκδοση (αρχική μορφή του κειμένου είναι διαθέσιμη εδώ).
  
• Richard P. Stanley, Enumerative Combinatorics, vol. 1, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 49, Cambridge University Press, second edition, Cambridge, 2011 (σχεδόν τελική μορφή του κειμένου είναι διαθέσιμη εδώ).
  
• Richard P. Stanley, Enumerative Combinatorics, vol. 2, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 62, Cambridge University Press, Cambridge, 1999.
  
• Richard P. Stanley, An Introduction to Hyperplane Arrangements, in Geometric Combinatorics (E. Miller, V. Reiner and B. Sturmfels, eds.), IAS/Park City Mathematics Series 13, pp. 389-496, Amer. Math. Society, Providence, RI, 2007 (οι σημειώσεις αυτές είναι διαθέσιμες εδώ).
  
• Herbert S. Wilf, Generatingfunctionology, A K Peters, Ltd, third edition, 2006.