Μαθηματικό Τμήμα Πανεπιστημίου Αθηνών 2011

Ώρες μαθήματος:Τρίτη Πέμπτη 9-11

Γραφείο Διδάσκοντα: 201
Σύντομή περιγραφή μαθήματος
Η αλγεβρική θεωρία αριθμών είναι ένας κύριος κλάδος της θεωρίας αριθμών που μελετά δομές σχετικά με τους ακέραιους αλγεβρικούς αριθμούς. Οι ακέραιοι αλγεβρικοί αριθμοί είναι για ένα σώμα αριθμών ότι είναι οι συνηθισμένοι ακέραιοι για το σώμα των ρητών αριθμών. Πολλές ιδιότητες που θεωρούμε δεδομένες για τους συνηθισμένους ακέραιους δεν ισχύουν για τους ακέραιους αλγεβρικούς, όπως η μοναδική παραγοντοποίηση. Τα εργαλεία που θα χρησιμοποιήσουμε στο μάθημα προέρχονται από την αντιμεταθετική άλγεβρα και την θεωρία Galois ενώ χρήσιμα θα μας είναι και αναλυτικά εργαλεία όπως οι ζ-συναρτήσεις και οι L-σειρές.

Ύλη μαθήματος
  1. Μερικά στοιχεία αντιμεταθετικής άλγεβρας: Localization, ακέραια εξάρτηση, διακριτοί δακτύλιοι εκτίμησης, δακτύλιοι της Noether, και του Dedekind.
  2. Κλασματικά ιδεώδη και η ομάδα κλάσεων, ίχνη και νόρμες.
  3. Δακτύλιοι των ακεραίων αλγεβρικών, ιδεώδη και παραδείγματα από τετραγωνικά και κυκλοτομικά σώματα.
  4. Lattices σε πραγματικούς διανυσματικούς χώρους, το θεώρημα του Minkowski.
  5. Θεωρήματα δομής μονάδων και το πεπερασμένο του Class Number.
  6. Πλήρη σώματα, Αρχιμήδειες και μη Αρχιμήδειες εκτιμήσεις.
  7. Θεωρία του Hilbert, ομάδες αδράνειας διακλάδωσης και ανάλυσης.
  8. Ο αυτομορφισμός του Frobenious και η συνάρτηση του Artin.
  9. Moduli και Ray classes, σειρές του Dirichlet.
  10. Χαρακτήρες αβελιανών ομάδων
  11. L-σειρές και αναπαραστάσεις γινομένων
  12. Θεωρήματα πυκνότητας.
Ασκήσεις
  1. 1ο φυλάδιο ασκήσεων. Παράδοση Τρίτη 22 Μαρτίου 2011
  2. 2ο φυλάδιο ασκήσεων. Παράδοση Πέμπτη 5 Απριλίου 2011

Ημερολόγιο Μαθήματος
22/2/2011 Εισαγωγικά στοιχεία για το μάθημα. Λύσεις διοφαντικών εξισώσεων $y^3=x^2+1$ και $2y^3=x^2+5$ με παραγοντοποίηση του δεξιού μέλους στους δακτυλίους $\mathbb{Z}[i]$ και $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$. Το πρόβλημα της μοναδικής παραγοντοποίησης στον δεύτερο. Η ανάγκη υπολογισμού της ομάδας των μονάδων. Ορισμός του δακτυλίου των ακεραίων αλγεβρικών.
24/2/2011 Ορισμός των εμφυτεύσεων ενός σώματος αριθμών στο $\mathbb{C}$. Πολυώνυμο σώματος, norm και trace σε σώματα αριθμών. Διακρίνουσα. Απόδειξη ύπαρξης βάσης ακαιρεότητας. Δακτύλιοι της Noether. Σε δακτύλιους της Noether έχουμε ανάλυση στοιχείων σε γινόμενα αναγώγων.
1/3/2011 Ισοδύναμοι χαρακτηρισμοί δακτυλίων της Noether. Πράξεις με ιδεώδη, η ημιομάδα των ιδεωδών. Reciprocal και αντίστροφο ιδεώδους. Δακτύλιοι του Dedekind. Ορισμός με βάση την αντιστρεψιμότητα ιδεωδών. Ακεραία θήκη και ακεραία κλειστοί δακτύλιοι. Η σχέση της ακεραίας κλειστότητας με τις singularities αλγεβρικών καμπυλών, παραδείγματα.
3/3/2011 Χαρακτηρισμός δακτυλίων του Dedekind που είναι δακτύλιοι της Noether, τα μη μηδενικά πρώτα ιδεώδη είναι μέγιστα και επιπλέον είναι ακέραια κλειστοί. Μονοσήμαντη ανάλυση κλασματικών ιδεωδών σε πρώτα κλασματικά ιδεώδη.
8/3/2011 Αριθμητική στα ιδεώδη δακτυλίου Dedekind. Απόδειξη ότι ο δακτύλιος των ακεραίων αλγεβρικών είναι δακτύλιος του Dedekind που ικανοποιεί την συνθήκη της πεπερασμένης νόρμας.
10/3/2011 Εντοπισμός (Localization) σε ακέραιες περιοχές. Τοπικοί δακτύλιοι και δακτύλιοι διακριτής εκτίμισης. Χαρακτηρισμός των δακτυλίων του Dedekind μέσω των εντοπισμών τους σε κάθε πρώτο ιδεώδες.
22/3/2011 Νόρμα και ίχνος στοιχείου. Διακρίνουσα. Διαχωρίσιμες επεκτάσεις και η διγραμμική μορφή του ίχνους.
24/3/2011 Η γραμμική απεικόνιση που επάγεται με το πολ/σμό L-->L με στοιχείο. Ελάχιστο και χαρακτηριστικό πολυώνυμο.
29/3/2011 Επεκτάσεις ιδεωδών. Διακλάδωση και αδράνεια. Ο τύπος Σe_f_i=[L:K]. Χαρακτηρισμός των πρώτων που διακλαδίζονται μέσω διακρίνουσας.
31/3/2011 Ο νόμος ανάλυσης και η εύρεση των ιδεωδων που βρίσκονται πάνω από ιδεώδες επέκτασης σωμάτων αριθμών.
5/4/2011 Η μεταβατική δράση της ομάδας Galois επί των ιδεωδών. Ορισμός και ιδιότητες νόρμας ιδεωδών.
7/4/2011
Βιβλιογραφία:
 
  1. Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem: Third Edition Εισαγωγικό Βιβλίο, προπτυχιακού επιπέδου. H τρίτη έκδοση περιγράφει και τα εργαλεία που οδήγησαν στην απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Fermat.
  2. D. Marcus Number Field Springer (1977) Πολλές ενδιαφέρουσες ασκήσεις.
  3. G. Janusz Algebraic Number Fields (Graduate Studies in Mathematics, V. 7) (2nd ed) Παράλληλα με την θεωρία των αλγεβρικών σωμάτων αριθμών περιέχει και εισαγωγικά στοιχεία για L-σειρές και θεωρία κλάσεων σωμάτων. Μεταπτυχιακού επιπέδου.
    4. Juergen Neukirch Algebraic Number Theory (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften) (v. 322) by J?rgen Neukirch and Norbert Schappacher (Jun 22, 1999) Περιεκτικό βιβλίο μεταπτυχιακού επιπέδου. Κάνει χρήση της θεωρίας των σχημάτων σε σώματα αριθμών.
  4. Dino Lorenzini, An Invitation to Arithmetic Geometry (Graduate Studies in Mathematics, Vol 9) GSM/9 Καταπληκτικό βιβλίο που αναπτύσει την θεωρία των αλγεβρικών σωμάτων αριθμών παράλληλα με αυτή των αλγεβρικών καμπυλών. Παράλληλα δίνει γεωμετρικές ερμηνείες σε έννοιες των σωμάτων αριθμών. Σίγουρα ευκολότερο από το βιβλίο του Neukirch.
    5. William Stein, Algebraic Number Theory , a Computational Approach. Βιβλίο με παραδείγματα μέσω του προγράμματος Sage.
  5. Διδακτικές σημειώσεις J. Milne
  6. Διδακτικές σημειώσεις Γ. Αντωνιάδη