Page Menu

Contact

Office: 201
Email
Phone Number:
210 7276509
Address: Department of Mathematics
National and Kapodistrian University of Athens
Panepistimioupolis,
GR-157 84, Athens Greece

Links:

• Mathscinet
• Zentralblatt
• Computer Science Bibliography
• Google Scholar
• arXiv
• Microsoft Academic Search
• Personal Photos
• My Photos on Flickr

Γραμμική Άλγεβρα ΙI

---

Χωροχρονικές συντεταγμένες: (για τα ψηφία 3-6)

Αίθουσα: ΑΜΦ 23 Δευτέρα-Τετάρτη-Παρασκευή 11:00-13:00

---

Σύνδεσμοι

E-class.

Ένα χρήσιμο βιβλίο Γραμμικής Άλγεβρας (το οποίο διδάσκονταν στο Πανεπιστήμιο Κρήτης όταν ήμουν προπτυχιακός φοιτητής).

On-Line μαθήματα Γραμμικής Άλγεβρας από τον καθ. Gilbert Strang του ΜΙΤ.

---

Θέματα και λύσεις εξέτασης 21 Ιουλίου 2014

---

Ύλη

Κεφ. 1 Πολυώνυμα, γνωρίζουμε να τα χειριζόμαστε και έχουμε ευχέρεια με έννοιες όπως διαίρεση με πηλίκο και υπόλοιπο, Μέγιστος κοινός διαιρέτης ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, ρίζες και πολλαπλότητες κτλ

Κεφ. 2 εντός ύλης

Κεφ. 3 εντός ύλης εκτός από τις παραγράφους 3.1.12-3.1.21 3.2.1,3.2.2 SOS, 3.2.3 - 3.2.7 εκτός,
3.3 εκτός, 3.4 εκτός

Κεφ. 4 4.1 εντός ύλης, 4.2 εντός ύλης, 4.2.10-4.2.11 εκτός ύλης, 4.3 εντός ύλης, 4.4,4.5 εκτός ύλης.

---

Ημερολόγιο Μαθήματος

---

13η εβδομάδα

Δευτέρα 7/7/2014 Επίλυση Ασκήσεων

---

12η εβδομάδα

Παρασκευή 4/7/2014 Επίλυση Ασκήσεων

Τετάρτη 2/7/2014 Επίλυση Ασκήσεων

Δευτέρα 30/6/2014

Επίλυση Ασκήσεων

---

11η εβδομάδα

Παρασκευή 27/6/2014

Διαγώνισμα και επίλυση ασκήσεων

Τετάρτη 25/6/2014

Επίλυση Ασκήσεων

Δευτέρα 23/6/2014

Κανονικοί πίνακες και διαγωνισιμότητα μέσω μοναδιαίων πινάκων

---

10η εβδομάδα

Παρασκευή 20/6/2014

Η διαγωνισιμότητα των μιγαδικών και πραγματικών ερμητιανών πινάκων μέσω μοναδιαίου μετασχηματισμού

Τετάρτη 18/6/2014

Επίλυση ασκήσεων

Δευτέρα 16/6/2014

Επίλυση ασκήσεων

---

9η εβδομάδα

Παρασκευή 11/6/2014

Ορισμός του πίνακα $A^*=\bar{A}^t$. Η ιδιότητα $\langle Ax, y\rangle= \langle x,A^* y \rangle$. Μοναδιαίοι και Ερμητιανοί πίνακες.

Οι μοναδιαίοι πίνακες μεταφέρουν ορθοκανονικές βάσεις σε ορθοκανονικές βάσεις. Έχουν στήλες και γραμμές που αποτελούν ορθοκανονικές βάσεις.

Οι ερμητιανοί πίνακες έχουν πραγματικές ιδιοτιμές και οι ιδιόχωροι που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιμές είναι κάθετοι.

Τετάρτη 9/6/2014

Παραδείγματα στην μέθοδο Gram-Schmidt. Η μέθοδος Gram-Schmidt όταν εφαρμόζεται σε μη γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα δίνει ορθοκανονική βάση του χώρου που αυτά παράγουν.

---

8η εβδομάδα

Παρασκευή 6/6/2014

Ορθοκανονικές βάσεις. Η έκφραση των συντεταγμένων διανύσματος ως προς ορθοκανονική βάση με την βοήθεια του εσωτερικού γινομένου. Η μέθοδος ορθοκανονικοποίησης Gram-Schmidt

Τετάρτη 4/6/2014

Εσωτερικά γινόμενα. Τα κανονικά εσωτερικά γινόμενα στους $\mathbb{R}^n$ και $\mathbb{C}^n$. Μήκος και γωνία διανυσμάτων η ανισότητα
Cauchy-Schwarz

Δευτέρα 2/6/2014

Διαγωνίσιμοι πίνακες είναι ταυτόχρονα διαγωνίσιμοι αν και μόνο αντιμετατίθενται. Παραδείγματα, ασκήσεις.

---

7η εβδομάδα

Σάββατο 31/5/2014

Διαγώνισμα στην μέχρι τώρα ύλη και λύση των θεμάτων.

Παρασκευή 30/5/2014

Απόδειξη ότι ένας πίνακας είναι διαγωνίσιμος τότε το ελάχιστο πολυώνυμο του έχει απλές ρίζες. Ασκήσεις.

Τετάρτη 28/5/2014

Αναλλοίωτοι υπόχωροι. Ασκήσεις.

Δευτέρα 26/5/2014

Ασκήσεις και Παραδείγματα.

---

6η εβδομάδα

Παρασκευή 23/5/2014

Ασκήσεις και Παραδείγματα.

Τετάρτη 21/5/2014

Ελάχιστα πολυώνυμα και ιδιότητες. Υπολογισμός ελαχίστου πολυωνύμου. Το ελάχιστο πολυώνυμο πίνακα διαγώνιου κατά μπλοκ.

Δευτέρα 19/5/2014

Το θεώρημα Cayley-Hamilton

---

5η εβδομάδα

Παρασκευή 16/5/2014

Ιδιοτιμές γραμμικής απεικόνισης $f:V \rightarrow V$ και της $\phi(f)$, $\phi \in \mathbb{F}[x]$.

Τετάρτη 14/5/2014

Τριγωνίσιμες Γραμμικές απεικονίσεις. Αν το χαρακτηριστικό πολυώνυμο έχει όλες τις ρίζες στο σώμα η απεικόνιση είναι τριγωνίσιμη.

Δευτέρα 12/5/2014

Ευθέα αθροίσματα διανυσματικών χώρων. Διαγωνισιμότητα αν ο χώρος είναι ευθύ άθροισμα ιδιοχώρων.

---

4η εβδομάδα

Παρασκευή 9/5/2014

Αν το χαρακτηριστικό πολυώνυμο έχει διαφορετικές ρίζες ο πίνακας είναι διαγωνίσιμος. Κριτήριο διαγωνισιμότητας: Ο πίνακας είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν κάθε ιδιόχωρος έχει διάσταση ίση με την πολλαπλότητα της ιδιοτιμής ως ρίζα του χαρακτηριστικού πολυωνύμου.

Δευτέρα 5/5/2014

Εφαρμογές διαγωνίσιμότητας: Υπολογισμός δυνάμεων και ριζών πινάκων, αναδρομικές ακολουθίες, συστήματα διαφορικών εξισώσεων, παραδείγματα.

---

3η εβδομάδα

Τετάρτη 30/4/2014

Ιδιότητες χαρακτηριστικού πολυωνύμου. Σύνδεση με το ίχνος και την ορίζουσα. Διαγωνίσιμοι πίνακες. Ικανή και αναγκαία συνθήκη να έχουν μια βάση από ιδιοδιανύσματα. Μέθοδος εύρεσης πίνακα αλλαγής βάσης και διαγώνιας μορφής ενός διαγωνίσιμου πίνακα.

Δευτέρα 28/4/2014

Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα. Ιδιόχωροι. Παραδείγματα. Χαρακτηριστικό πολυώνυμο πίνακα. Όμοιοι πίνακες έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυμο. Χαρακτηριστικό πολυώνυμο γραμμικής συνάρτησης.

---

2η εβδομάδα

Παρασκευή 25/4/2014

Επανάληψη των βασικών εννοιών για τα πολυώνυμα. Η μονοσήμαντη ανάλυση των πολυωνύμων σε ανάγωγα μονικά πολυώνυμα.

Το Θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας. Το πολυώνυμο $f(x) \in \mathbb{F}[x]$ έχει ρίζα το $\rho$ αν και μόνο αν το $(x-\rho)$ διαιρεί το $f(x)$.

Κριτήριο πολλαπλότητας ρίζας βασισμένο στην παράγωγο: Το πολυώνυμο $f(x)$ έχει ρίζα το $\rho$ πολλαπλότητας $\kappa$ αν και μόνο αν

$$f(\rho)=f'(\rho)=f^{(2)}(\rho)=\cdots=f^{(k-1)}(\rho)=0$$

και $f^{(k)}(\rho)\neq 0$.

---

1η εβδομάδα

Δευτέρα 14/4/2014

Πολυώνυμα, ορισμός και πράξεις μεταξύ τους. Διαίρεσης πολυωνύμων και την διαίρεση με πηλίκο και υπόλοιπο.
Μέγιστος κοινός διαιρέτης, ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο πολυωνύμων όπως και για την έννοια του ανάγωγου πολυωνύμου.