Αλγεβρική Γεωμετρία


Ακαδημαϊκό έτος 2011-2012



Ώρες διδασκαλίας: Δευτέρα 15:00-17:00 Τρίτη 15:00-17:00 Γ31

Φυλλάδια Ασκήσεων

  • 1ο Φυλλάδιο Παράδοση 27 Μαρτίου 2012
  • 2ο Φυλλάδιο Παράδοση 23 Απριλίου 2012

    • Περιεχόμενο Μαθήματος

  • Αλγεβρικές πολλαπλότητες: Αφφινικές πολλαπλότητες, το θεώρημα των ριζών του Hilbert, προβολικές πολλαπλότητες, μορφισμοί και ρητές απεικονίσεις, λείες πολλαπλότητες, το πολυώνυμο του Hilbert μιας προβολικής πολλαπλότητας, το θεώρημα του Bezout.
  • Schemes: Sheaves σε τοπολογικούς χώρους, το φάσμα ενός μεταθετικού δακτυλίου, παραδείγματα schemes.
  • Συνομολογία των Sheaves

    • Διδακτικά Βιβλία

  • R. Hartshorne Algebraic Geometry Springer 1977
  • K. Ueno Algebraic Geometry, From Algebraic Varieties to Schemes AMS

    • Ημερολόγιο Μαθήματος:

    Δευτέρα 12 Μαρτίου 2012 Ορισμός αλγεβρικών συνόλων, το θεώρημα Βάσης του Hilbert. Παραδείγματα. Ιδιότητες αλγεβρικών συνόλων (τομές ενώσεις, ριζικά). Το ασθενές Nullstellensatz. Χαρακτηρισμός μεγίστων ιδεωδων του αφινικού χώρου
    Τρίτη 13 Μαρτίου 2012 Το ισχυρό Nullstellensatz, τοπολογία Zariski, ανάγωγες πολλαπλότητες και αλγεβρικός χαρακτηρισμός τους. Ο δακτύλιος συντεταγμένων.
    Δευτέρα 19 Μαρτίου 2012 Η έννοια του μορφισμού αλγεβρικών πολλαπλοτήτων. Η ανάγκη να συμπεριλάβουμε και τον δακτύλιο συντεταγμέων στον ορισμό. Pull-backs.
    Το μέγιστο φάσμα μίας πεπερασμένα παραγόμενης k άλγεβρας. Μορφισμοί και μέγιστο φάσμα.
    Τρίτη 20 Μαρτίου 2012 Τοπολογία Zariski στο σύνολο μεγίστων ιδεωδών μιας πεπερασμένα παραγώμενα αντιμεταθετικής άλεγρας. Ανοιχτά σύνολα. Localization και απόδειξη ότι τα ανοιχτά σύνολα είναι μέγιστο φάσμα αντιμεταθετικής άλγεβρας. Εφαρμογή: Γενική Γραμμική Ομάδα.
    Η σημασία των δακτυλιών με μηδενοδύναμα στοιχεία. Πολλαπλότητα ρίζας πολυωνύμου f ως διάσταση του πηλίκου k[x]/f. Τοπική πολλαπλότητα τομής επιπέδων αλγεβρικών καμπυλών ως διάσταση του k[x,y]_P/(f,g).
    Κολλήματα αφινικών συνόλων μέσω ισομορφισμών. Κατασκευή του προβολικού χώρου.
    Δευτέρα 26 Μαρτίου 2012 Ομογενή ιδεώδη και προβολικά σύνολα. Ομογενοποίηση αποομογενοποίηση, Παραδείγματα. Διατύπωση του θεωρήματος του Bezout για επίπεδες προβολικές καμπύλες.
    Τρίτη 27 Μαρτίου 2012 Ιδέες από την αντιμεταθετική άλγεβρα. Ύψος πρώτου ιδεώδους, διάσταση Krull. Oρισμός μη ιδόμορφου αφινικού συνόλου. Εγκάρσιες τομές. Τοπικοί κανονικοί δακτύλιοι (regular local rings). Χαρακτηρισμός μη ιδιομορφίας σε όρους των τοπικών κανονικών δακτυλίων.
    Δευτέρα 2 Απριλίου 2012 Ο ορισμός του φάσματος των πρώτων ιδεωδών σε αντιμεταθετικούς δακυτλίους. Η τοπολογία Zariski σε αυτούς, παραδείγματα.
    Τρίτη 3 Απριλίου 2012 Sheaves πάνω στο SpecR. Οι συναρτήσεις περιορισμού σε βασικά ανοιχτά SpecR_f. O δακτύλιος των φύτρων, ευθέα και αντίστροφα όρια.
    Δευτέρα 23 Απριλίου 2012 Ο δακτύλιος των φύτρων σε ένα πρώτο ιδεώδες ταυτίζεται με την localization στο ιδεώδες αυτό. Το structure sheaf στο SpecR.
    Τρίτη 24 Απριλίου 2012 Παραδείγματα sheaves από την τοπολογία και την ανάλυση. Ορισμός structure sheaf II. Παραδείγματα.
    Δευτέρα 30 Απριλίου 2012 Κατασκευές με sheaves. Περιοριμός sheaf σε ανοιχτό σύνολο τοπολογικού χώρου. Το pullback ενός sheaf. Ορισμός των ringed και locally ringed τοπολογικών χώρων. Ο ορισμός του scheme. Η προβολική ευθεία ως scheme.
    Τρίτη 8 Μαΐου 2012 Προβολικά σχήματα, graded rings και ο Proj συναρτητής
    Δευτέρα 14 Μαΐου 2012 Ορισμοί συνεκτικού, reduced, irreducible, integral σχήματος. Κριτήριο του ριζικού για irreducible σχήματα. Integral=reduced+irreducible. Μορφισμοί σχημάτων. Μορφισμός finite type, finite μορφισμός, παραδείγματα.
    Τρίτη 15 Μαΐου 2012 Ανοιχτές immersions και κλειστές embedings. Στοιχεία θεωρίας κατηγοριών. Συναρτητές, natural transformations, ισοδύναμες κατηγοριές. Η κατηγορία των δακτυλίων είναι ισοδύναμη με αυτή των affine schemes.