Αντιμεταθετική Άλγεβρα

Η αντιμεταθετική άλγεβρα είναι ο κλάδος της Άλγεβρας που μελετά αντιμεταθετικούς δακτυλίους και τα ιδεώδη τους και πρότυπα πάνω από αυτούς. Η αντιμεταθετική άλγεβρα είναι βασικό εργαλείο στην αλγεβρική θεωρία αριθμών και την αλγεβρική γεωμετρία.

Περιεχόμενο του μαθήματος

• Δακτύλιοι της Noether και δακτύλιοι του Artin.
• Θεώρημα βάσης του Hilbert.
• Ακέραια εξάρτηση και κανονικοποίηση της Noether.
• Nullstellensatz και γεωμετρικές εφαρμογές.
• Τοπικοποίηση, πρωταρχική ανάλυση ιδεωδών.
• Δακτύλιοι διακριτής εκτίμησης

η-τάξη

Όσοι ενδιαφέρονται ας γραφτούν στην η-τάξη ώστε να λαμβάνουν τις ανακοινώσεις του μαθήματος.

Βιβλία:

• Μιχάλης Μαλιάκας Εισαγωγή στην μεταθετική άλγεβρα ISBN 978-960-88637-4-3 εκδόσεις Σοφία 2008
• Χαρά Χαραλάμπους Μια εισαγωγή στην Αντιμεταθετική Άλγεβρα
• Μιχάλης Δώρος – Ιωάννης υιός Δονάλδου Introduction to Commutative Algebra ADDISON-WESLEY PUBLISHING COMPANY

Χωροχρονικές συντεταγμένες:

Πέμπτη 9:00-12:00 Γ33

#Ασκήσεις

• 1ο Φυλλάδιο
• 2ο Φυλλάδιο

Ημερολόγιο Μαθήματος

###28/9/2017, 1o μάθημα.###

Εισαγωγή.

Λόγοι που οδήγησαν στην ανάπτυξη της αντιμεταθετικής άλγεβρας:

1. Η ανάγκη μελέτης των γεωμετρικών αντικειμένων οδήγησε στη χρήση αλγεβρικών μεθόδων.
2. Το τελευταίο θεώρημα του Fermat και η ανάγκη παραγοντοποίησης του \(x^n+y^n\) στον δακτύλιο \(\mathbb{Z}[\zeta_{2n}]\).
3. Η ανάπτυξη της υπολογιστικής άλγεβρας και η χρήση βάσεων Groebner για την επίλυση συστημάτων αλγεβρικών εξισώσεων.

Κεφάλαιο 1

1. Ορισμός δακτυλίου, υποδακτυλίου και ιδεώδους. Δακτύλιος πηλίκο. Ομομορφισμοί.
2. Η σχέση των ιδεωδών ενός δακτυλίου \(R\) και των ιδεωδών του δακτυλίου πηλίκο \(R/I\).
3. Ακέραιες περιοχές και μηδενοδύναμα στοιχεία.
4. Χαρακτηρισμός σωμάτων από τα ιδεώδη.
5. Πρώτα ιδεώδη, μέγιστα ιδεώδη και ιδιότητές τους.
6. Λήμμα του Zorn. Απόδειξη ότι κάθε δακτύλιος (με μονάδα) έχει μέγιστο ιδεώδες.
7. Τοπικοί δακτύλιοι και χαρακτηρισμός τους.

###5/10/2017, 2o μάθημα.###

Πρώτα και μέγιστα ιδεώδη

Πρώτα ιδεώδη. Κύρια ιδεώδη. Περιοχές κύριων ιδεωδών. Ιδιότητες. Μέγιστα ιδεώδη.

Θεώρημα: Σε κάθε ΠΚΙ κάθε μη μηδενικό πρώτο ιδεώδες είναι μέγιστο.

Παράδειγμα: Ο \(Z[x]\) δεν είναι ΠΚΙ.

Nilradical και το ριζικό του Jacobson

Μηδενοδύναμα στοιχεία. Ορισμός του Nilradical.

Θεώρημα: Κάθε μέγιστο ιδεώδες είναι πρώτο.

Πράξεις μεταξύ ιδεωδών: Άθροισμα, τομή και γινόμενο.

Γινόμενο δακτυλίων.

Το θεώρημα υπολοίπων του Κινέζου.

Επέκταση και περιορισμός ιδεωδών.

###12/10/2017, 3o μάθημα.###

Πρότυπα, υποπρότυπα και πρότυπα πηλίκο. Πράξεις μεταξύ προτύπων, ευθύ άθροισμα.

Χαρακτηριστικό πολυώνυμο και το λήμμα του Nakayama. Στοιχεία που παράγουν πρότυπα πάνω από τοπικούς δακτυλίους.

Ακριβείς ακολουθίες, Τανυστικά γινόμενα προτύπων.

###19/10/2017, 4ο μάθημα.###