ΑντιμΡταθΡτικΞ� ΆλγΡβρα

Ξ— αντιμΡταθΡτικΞ� άλγΡβρα Ρίναι ΞΏ κλάδος της ΆλγΡβρας που μΡλΡτά αντιμΡταθΡτικούς δακτυλίους ΞΊΞ±ΞΉ τα ιδΡώδη τους ΞΊΞ±ΞΉ Ο€ΟΟŒΟ„Ο…Ο€Ξ± πάνω Ξ±Ο€ΟŒ αυτούς. Ξ— αντιμΡταθΡτικΞ� άλγΡβρα Ρίναι Ξ²Ξ±ΟƒΞΉΞΊΟŒ ΡργαλΡίο στην αλγΡβρικΞ� θΡωρία αριθμών ΞΊΞ±ΞΉ την αλγΡβρικΞ� γΡωμΡτρία.

Ξ Ξ΅ΟΞΉΞ΅Ο‡ΟŒΞΌΞ΅Ξ½ΞΏ του ΞΌΞ±ΞΈΞ�ματος

Ξ·-τάξη

ΞŒΟƒΞΏΞΉ Ρνδιαφέρονται Ξ±Ο‚ γραφτούν στην Ξ·-τάξη ΟŽΟƒΟ„Ξ΅ Ξ½Ξ± λαμβάνουν τις Ξ±Ξ½Ξ±ΞΊΞΏΞΉΞ½ΟŽΟƒΞ΅ΞΉΟ‚ του ΞΌΞ±ΞΈΞ�ματος.

Βιβλία:

Χωροχρονικές συντΡταγμένΡς:

Πέμπτη 9:00-12:00 Ξ“33

#ΑσκΞ�σΡις

Ξ—ΞΌΞ΅ΟΞΏΞ»ΟŒΞ³ΞΉΞΏ ΜαθΞ�ματος

###28/9/2017, 1o μάθημα.###

ΕισαγωγΞ�.

Ξ›ΟŒΞ³ΞΏΞΉ που ΞΏΞ΄Ξ�γησαν στην ανάπτυξη της αντιμΡταθΡτικΞ�Ο‚ άλγΡβρας:

  1. Ξ— ανάγκη μΡλέτης των Ξ³Ξ΅Ο‰ΞΌΞ΅Ο„ΟΞΉΞΊΟŽΞ½ αντικΡιμένων ΞΏΞ΄Ξ�γησΡ στη χρΞ�ση αλγΡβρικών ΞΌΞ΅ΞΈΟŒΞ΄Ο‰Ξ½.
  2. ΀ο τΡλΡυταίο θΡώρημα του Fermat ΞΊΞ±ΞΉ Ξ· ανάγκη παραγοντοποίησης του \(x^n+y^n\) στον δακτύλιο \(\mathbb{Z}[\zeta_{2n}]\).
  3. Ξ— ανάπτυξη της υπολογιστικΞ�Ο‚ άλγΡβρας ΞΊΞ±ΞΉ Ξ· χρΞ�ση βάσΡων Groebner Ξ³ΞΉΞ± την Ρπίλυση συστημάτων αλγΡβρικών Ξ΅ΞΎΞΉΟƒΟŽΟƒΞ΅Ο‰Ξ½.

ΞšΞ΅Ο†Ξ¬Ξ»Ξ±ΞΉΞΏ 1

  1. ΞŸΟΞΉΟƒΞΌΟŒΟ‚ δακτυλίου, υποδακτυλίου ΞΊΞ±ΞΉ ΞΉΞ΄Ξ΅ΟŽΞ΄ΞΏΟ…Ο‚. Δακτύλιος πηλίκο. ΞŸΞΌΞΏΞΌΞΏΟΟ†ΞΉΟƒΞΌΞΏΞ―.
  2. Ξ— σχέση των ΞΉΞ΄Ξ΅Ο‰Ξ΄ΟŽΞ½ Ξ΅Ξ½ΟŒΟ‚ δακτυλίου \(R\) ΞΊΞ±ΞΉ των ΞΉΞ΄Ξ΅Ο‰Ξ΄ΟŽΞ½ του δακτυλίου πηλίκο \(R/I\).
  3. ΑκέραιΡς πΡριοχές ΞΊΞ±ΞΉ μηδΡνοδύναμα στοιχΡία.
  4. Ξ§Ξ±ΟΞ±ΞΊΟ„Ξ·ΟΞΉΟƒΞΌΟŒΟ‚ σωμάτων Ξ±Ο€ΟŒ τα ιδΡώδη.
  5. Ξ ΟΟŽΟ„Ξ± ιδΡώδη, μέγιστα ιδΡώδη ΞΊΞ±ΞΉ ΞΉΞ΄ΞΉΟŒΟ„Ξ·Ο„Ξ­Ο‚ τους.
  6. Ξ›Ξ�ΞΌΞΌΞ± του Zorn. Ξ‘Ο€ΟŒΞ΄Ξ΅ΞΉΞΎΞ· ΟŒΟ„ΞΉ κάθΡ δακτύλιος (ΞΌΞ΅ μονάδα) έχΡι μέγιστο ΞΉΞ΄Ξ΅ΟŽΞ΄Ξ΅Ο‚.
  7. ΀οπικοί δακτύλιοι ΞΊΞ±ΞΉ Ο‡Ξ±ΟΞ±ΞΊΟ„Ξ·ΟΞΉΟƒΞΌΟŒΟ‚ τους.

###5/10/2017, 2o μάθημα.###

Ξ ΟΟŽΟ„Ξ± ΞΊΞ±ΞΉ μέγιστα ιδΡώδη

Ξ ΟΟŽΟ„Ξ± ιδΡώδη. Κύρια ιδΡώδη. ΠΡριοχές κύριων ΞΉΞ΄Ξ΅Ο‰Ξ΄ΟŽΞ½. Ξ™Ξ΄ΞΉΟŒΟ„Ξ·Ο„Ξ΅Ο‚. ΞœΞ­Ξ³ΞΉΟƒΟ„Ξ± ιδΡώδη.

ΘΡώρημα: ΣΡ κάθΡ Ξ ΞšΞ™ κάθΡ ΞΌΞ· μηδΡνικό Ο€ΟΟŽΟ„ΞΏ ΞΉΞ΄Ξ΅ΟŽΞ΄Ξ΅Ο‚ Ρίναι μέγιστο.

ΠαράδΡιγμα: Ο \(Z[x]\) δΡν Ρίναι Ξ ΞšΞ™.

Nilradical ΞΊΞ±ΞΉ το ρι΢ικό του Jacobson

ΜηδΡνοδύναμα στοιχΡία. ΞŸΟΞΉΟƒΞΌΟŒΟ‚ του Nilradical.

ΘΡώρημα: ΚάθΡ μέγιστο ΞΉΞ΄Ξ΅ΟŽΞ΄Ξ΅Ο‚ Ρίναι Ο€ΟΟŽΟ„ΞΏ.

ΠράξΡις μΡταξύ ΞΉΞ΄Ξ΅Ο‰Ξ΄ΟŽΞ½: Άθροισμα, τομΞ� ΞΊΞ±ΞΉ γινόμΡνο.

Ξ“ΞΉΞ½ΟŒΞΌΞ΅Ξ½ΞΏ δακτυλίων.

΀ο θΡώρημα υπολοίπων του ΞšΞΉΞ½Ξ­ΞΆΞΏΟ….

Επέκταση ΞΊΞ±ΞΉ Ο€Ξ΅ΟΞΉΞΏΟΞΉΟƒΞΌΟŒΟ‚ ΞΉΞ΄Ξ΅Ο‰Ξ΄ΟŽΞ½.

###12/10/2017, 3o μάθημα.###

Ξ ΟΟŒΟ„Ο…Ο€Ξ±, Ο…Ο€ΞΏΟ€ΟΟŒΟ„Ο…Ο€Ξ± ΞΊΞ±ΞΉ Ο€ΟΟŒΟ„Ο…Ο€Ξ± πηλίκο. ΠράξΡις μΡταξύ προτύπων, Ρυθύ άθροισμα.

Ξ§Ξ±ΟΞ±ΞΊΟ„Ξ·ΟΞΉΟƒΟ„ΞΉΞΊΟŒ Ο€ΞΏΞ»Ο…ΟŽΞ½Ο…ΞΌΞΏ ΞΊΞ±ΞΉ το Ξ»Ξ�ΞΌΞΌΞ± του Nakayama. ΣτοιχΡία που παράγουν Ο€ΟΟŒΟ„Ο…Ο€Ξ± πάνω Ξ±Ο€ΟŒ τοπικούς δακτυλίους.

ΑκριβΡίς ακολουθίΡς, ΀ανυστικά γινόμΡνα προτύπων.

###19/10/2017, 4ο μάθημα.###