Χωροχρονικές συντεταγμένες: (για τα ψηφία 3,4,5)
Αμφιθέατρο 21 Δευτέρα-Τετάρτη-Παρασκευή 11:00-13:00
#Σύνδεσμοι
E-class. Στον σύνδεσμο (ηλεκτονική τάξη) αναζητήστε το διδακτικό βιβλίο, ασκήσεις κτλ.
Ένα χρήσιμο βιβλίο Γραμμικής Άλγεβρας (το οποίο διδάσκονταν στο Πανεπιστήμιο Κρήτης όταν ήμουν προπτυχιακός φοιτητής).
Ανοικτά μαθήματα Πανεπιστημίου Αθηνών
On-Line μαθήματα Γραμμικής Άλγεβρας από τον καθ. Gilbert Strang του ΜΙΤ.
Από την ιστοσελίδα του καθ. Χρήστου Αθανασιάδη. Κατεβάστε το αρχείο.
σελ. 177, γραμμή 7 από το τέλος: τα \(a_1,\ldots,a_n\) πρέπει να γίνουν \(v_1,\ldots,v_n\).
#10η Εβδομάδα
Δευτέρα 27/11/2016
#9η Εβδομάδα
Παρασκευή 25/11/2016
Μέθοδοι εύρεσης πυρήνα και εικόνας, Παραδείγματα.
Για κάθε επιλογή γραμμικά ανεξάρτητων στοιχείων \(v_1,\ldots,v_n\) σε ένα διανυσματικό χώρο $V$ και κάθε επιλογή στοιχείων \(w_1,\ldots,w_n\) σε διανυσματικό χώρο \(W\), υπάρχει γραμμική συνάρτηση \(f:V \rightarrow W\) με $f(v_i)=w_i$.
Δυο διανυσματικοί χώροι πεπεραμένης διάστασης είναι ισόμορφοι αν και μόνο αν έχουν την ίδια διάσταση \(n\) οπότε είναι ισόμορφοι με τον \(\mathbb{R}^n\).
Τετάρτη 23/11/2016
Η έννοια της γραμμικής συνάρτησης. Οι γραμμικές απεικονίσεις στέλνουν γραμμικά εξαρτημένα διανύσματα σε γραμμικά εξαρτημένα. Οι μονομορφισμοί στέλνουν γραμμικά ανεξάρτητα σε γραμμικά ανεξάρτητα. Διανύσματα που παράγουν την αφετηρία έχουν εικόνες μέσω επιμορφιμού που παράγουν τον χώρο άφιξης.
Πυρήνας και εικόνα γραμμικής συνάρτησης. Μία γραμμική συνάρτηση είναι μονομορφισμός αν και μόνο αν έχει μηδενικό πυρήνα. Η εικόνα γραμμικού μετασχηματισμού της μορφής
\[\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m\]\(x \mapsto Ax,\) όπου ο \(Α\) είναι \(m\times n\) πίνακας ταυτίζεται με τον χώρο στηλών του πίνακα \(A\).
Δευτέρα 21/11/2016
Λύσεις ασκήσεων από την σελίδα 188 του βιβλίου.
#8η Εβδομάδα
Παρασκευή 18/11/2016
Το λήμμα της εναλλαγής. Η διάσταση του χώρου πηλίκου \(\dim(V/A)=\dim(V)-\dim(A)\)
Δευτέρα 14/11/2016
Ισότητα υπόχωρων και διαστάσεις. Η διάσταση του αθροίσματος
\[\dim(A+B)=\dim(A)+ \dim(B) -\dim(A\cap B).\]#7η Εβδομάδα
Παρασκευή 11/11/2016
Σε χώρο \(\langle u_1,\ldots,u_\mu \rangle\) που παράγεται από \(\mu\) το πλήθος διανύσματα μπορούμε να βρούμε το πολύ \(\mu\) γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα. Θεώρημα υπάρξης βάσης. Όλες οι βάσεις έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων. Παραδείγματα.
Τετάρτη 9/11/2016
Απόδειξη ότι αν σε σύνολο \(\{v_1,\ldots,v_k\}\) από γραμμικά εξαρτημένα διανύσματα προσθέσουμε και άλλα θα πάρουμε γραμμικά εξαρτημένα διανύσματα. Απόδειξη ότι αν από σύνολο \(\{v_1,\ldots,v_k\}\) από γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα αφαιρέσουμε κάποια θα πάρουμε ανεξάρτητα διανύσματα.
Αν τα $v_1,\ldots,v_n$ είναι γραμμικά ανεξάρτητα και τα \(v_1,\ldots,v_n,v_{n+1}\) γραμμικά εξαρτημένα τότε \(v_{n+1} \in \langle v_1,\ldots,v_n \rangle\).
Δευτέρα 7/11/2016
Χώρος $\langle v_1,\ldots,v_n\rangle$ που παράγουν τα διανύαματα $v_1,\ldots,v_n\in V$. Παραδείγματα, εφαρμογές στην ύπαρξη λύσης γραμμικού συστήματος.
Γραμμικά εξαρτημένα και ανεξάρτητα διανύσματα. Ισοδυναμία ορισμών. Παραδείγματα.
#6η Εβδομάδα
Παρασκευή 4/11/2016
Άθροισμα και ευθύ άθροισμα διανυσματικών χώρων, παραδείγματα.
Μοναδικότητα της γραφής στα ευθέα αθροίσματα.
Διανυσματικός χώρος πηλίκο. Ορισμός και καλά ορισμένο των πράξεων. Ιδιότητες, παραδείγματα.
Τετάρτη 2/11/2016
Ορισμός υπόχωρου και το κριτήριο της κλειστότητας.
Παραδείγματα υποχώρων, λύσεις ομογενούς συστήματος.
Η τομή διανυσματικών υπόχωρων είναι πάντα διανυσματικός υπόχωρος. Η ένωση δύο διανυσματικών υπόχωρων $W=W_1 \cup W_2$ είναι διανυσματικός υπόχωρος αν και μόνο αν $W_1 \subset W_2$ ή $W_2 \subset W_1$.
Δευτέρα 31/10/2016
Ασκήσεις σε ορίζουσες, υπολογισμοί. Η μέθοδος Cramer επίλυσης συστημάτων με ορίζουσες.
Ορισμός διανυσματικού χώρου, παραδείγματα: χώροι $\mathbb{R}^n$, ακολουθίες, συναρτήσεις, πίνακες.
#5η Εβδομάδα
Τετάρτη 26/10/2016
Υπολογισμοί ορίζουσας. Ο τύπος του adjoint. Τύπος αντιστρόφου πίνακα. Ασκήσεις.
Δευτέρα 24/10/2016
Μεταθέσεις ιδιότητες και σύνθεση. Κάθε μετάθεση γράφεται ως γινόμενο αντιμεταθέσεων. Απόδειξη του τύπου του Leibniz
\[\mathrm{det}(A)=\sum_{\sigma \in S_n} \mathrm{sgn}(\sigma) a_{1\sigma(1)} a_{2 \sigma(2)} \cdots a_{n \sigma(n)}.\]Μοναδικότητα ορίζουσας.
#4η Εβδομάδα
Παρασκευή 21/10/2016
Ορισμός ορίζουσας ως συναρτήση από το σύνολο των πινάκων στο $\mathbb{R}$. Τι ζητούμε από μια συνάρτηση ορίζουσας. Ορίζουσες πίνακα $1\times 1$ και $2\times2$, $3\times 3$. ο μνημονικός κανόνας του Sarrus. Κατασκευή συνάρτησης ορίζουσας.
Τετάρτη 19/10/2016
Επίλυση ασκήσεων.
Δευτέρα 17/10/2016
Γενική επίλυση συστήματος.
Ομογενή συστήματα, και ιδιότητες λύσεων τους. Ανηγμένος κλιμακωτός πίνακας. Συνθήκες ώστε το ομογενές σύστημα να έχει άπειρες λύσεις.
Ισοδύναμες συνθήκες ώστε ένα ομογενές σύστημα να έχει μοναδική λύση. Υπολογισμός αντίστροφου πίνακα. Παραδείγματα.
#3η Εβδομάδα
Τετάρτη 12/10/2016
Εύρεση των πινάκων πολλαπλασιασμού που δίνουν τους στοιχειώδεις μετασχηματισμούς γραμμών. Κλιμακωτή μορφή πίνακα. Παραδείγματα απαλοιφής Gauss.
Δευτέρα 10/10/2016
Εισαγωγή στα γραμμικά συστήματα. Επαυξημένος πίνακας, στοιχειώδεις μετασχηματισμοί γραμμών. Οι στοιχειώδεις μετασχηματισμοί γραμμών προκύπτουν με πολλαπλασιασμό από αριστερά με κατάλληλους αντιστρέψιμους πίνακες.
#2η Εβδομάδα
Παρασκευή 7/10/2016 Αντιστρέψιμοι πίνακες. Η δομή ομάδας στο σύνολο των πινάκων. Παραδείγματα, $2x2$ πίνακες και ο τύπος:
\[\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a\end{pmatrix}.\]Το σύστημα $Ax=b$ έχει μοναδική λύση αν ο πίνακας $Α$ είναι $n\times n$ και αντιστρέψιμος.
Η συνάρτηση $L_A: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$, όπου $A$ είναι $m\times n$ πίνακας: \(L_A: \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \mapsto A\cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}.\)
Tετάρτη 5/10/2016
Απόδειξη ότι οι $n \times n$ πίνακες $A$, ώστε $Α\cdot B =B \cdot A$ για κάθε $n\times n$ πίνακα $B$,είναι αυτοί της μορφής $A= \lambda \mathbb{I}_n$.
Τετραγωνικοί άνω και κάτω τριγωνικοί, διαγώνιοι. Το γινόμενο άνω (κάτω) τριγωνικών πινάκων είναι άνω (κάτω) τριγωνικός πίνακας.
Ανάστροφος πίνακας, η ταυτότητα $(A\cdot B)^t=B^t\cdot A^t$. Συμμετρικοί και αντισυμμετρικοί πίνακες.
Δευτέρα 3/10/2016
Πολλαπλασιασμός πινάκων παραδείγματα. Ιδιότητες πολλαπλασιασμού και αποδείξεις. Ο ταυτοτικός $n\times n$ πίνακας.
#1η Εβδομάδα
Παρασκευή 30/10/2016
Άσκηση: Μια συνάρτηση $f:A \rightarrow A$, όπου $A$ είναι πεπερασμένο σύνολο είναι 1-1 αν και μόνο αν είναι επί.
Η μέθοδος της επαγωγής, παραδείγματα.
Πίνακες $n \times m$, ιδιότητες αθροίσματος πινάκων.
Tετάρτη 28/10/2016 Κλάσεις ισοδυναμίας, η διαμέριση ενός συνόλου σε κλάσεις ισοδυναμίας, το σύνολο πηλίκο. Η συνάρτηση ως σχέση. Ισότητα συναρτήσεων, πεδίο ορισμού, σύνολο τιμών. Συναρτήσεις 1-1 και επί, αντιστρέψιμες συναρτήσεις. Γράφημα συνάρτησης, ευθεία και αντίστροφη εικόνα.
Σύνθεση συναρτήσεων, αντίστροφη σύνθεσης αν υπάρχει $(f \circ g)^{-1}=g^{-1} \circ f^{-1}$.
Δευτέρα 26/10/2016
Στοιχεία από την θεωρία Συνόλων, ένωση, τομή συμπλήρωμα και διαφορά συνόλων. Καρτεσιανό Γινόμενο. Σχέσεις ως υποσύνολα του καρτεσιανού γινομένου. Σχέσεις Ισοδυναμίας, παραδείγματα.