Η άλγεβρα είναι ένας ευρύς κλάδος των μαθηματικών ο οποίος είναι αφιερωμένος στην μελέτη των πράξεων και των αλγεβρικών δομών - δηλαδή στην μελέτη συνόλων εφοδιασμένων με πράξεις.
Η Άλγεβρα χρησιμοποιείται σε πολλούς κλάδους των μαθηματικών και της επιστήμης γενικότερα. Για παράδειγμα η αλγεβρική τοπολογία χρησιμοποιεί τις δομές και τις τεχνικές της άλγεβρα στην μελέτη της τοπολογίας. Η αλγεβρική Γεωμετρία εφαρμόζει της έννοιες της Άλγεβρας στην μελέτη γεωμετρικών πολλαπλοτήτων ενώ η Αλγεβρική Θεωρία Αριθμών μελετά γενικεύσεις των ακεραίων αριθμών προκειμένου να τις εφαρμόσει σε προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών και των Διοφαντικών Εξισώσεων. Μεγάλη επιτυχία των παραπάνω τεχνικών τα τελευταία χρόνια ήταν η απόδειξη του τελευταίου Θεωρήματος του Fermat από τον Andrew Wiles.
Στην φυσική σημαντικές εφαρμογές έχει η θεωρία των ομάδων η οποία είναι ένα βασικό εργαλείο για την μελέτη της συμμετρίας, για παράδειγμα το Standard Model, η Κρυσταλογραφία και πολλά άλλα.
Ποιος είναι ρόλος της Άλγεβρας στα εφαρμοσμένα Μαθηματικα David A. Cox Notices AMS 2005.
Στόχοι του Μαθήματος
Οι φοιτητές μετά το τέλος του μαθήματος θα πρέπει να έχουν αποκτήσει τα βασικά εφόδια και τις γνώσεις ώστε να εμβαθύνουν σε περισσότερες εφαρμογές της άλγεβρας που θα διδαχτούν σε επόμενα μαθήματα.
Θα πρέπει να έχουν κατανοήσει τα πλεονεκτήματα μιας ενοποιημένης αντιμετώπισης των αλγεβρικών δομών, θα έχουν εξοικειωθεί με παραδείγματα τέτοιων δομών (ομάδες, δακτύλιοι, πολυώνυμα) και με τον γενικότερο τρόπο συλλογισμού στην αφηρημένη Άλγεβρα.
Περιεχόμενο του μαθήματος
Στοιχεία από τη Στοιχειώδη Θεωρία Αριθμών (διαιρετότητα ακεραίων και ισοτιμίες modulo $m$).
Στοιχεία από τη Θεωρία Δακτυλίων (δακτύλιοι, σώματα, δακτύλιοι πολυωνύμων, ομομορφισμοί, ιδεώδη και πηλίκα, εφαρμογές).
Στοιχεία από τη Θεωρία Ομάδων (συμμετρίες και μεταθέσεις, ομομορφισμοί, κανονικές υποομάδες, πηλίκα).
Βιβλία:
Δ. Βάρσος, Δ. Δεριζιώτης, Ι. Εμμανουήλ, Μ. Μαλιάκας, Ο. Ταλέλλη: Μια Εισαγωγή στην Άλγεβρα, Νέα Έκδοση.
Η πρώτη έκδοση του βιβλίου υπάρχει εδώ
FRALEIGH B. JOHN ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης
Απόσπασμα κεφ. Άλγεβρας Βιβλίου 3ης Λυκείου 1990 (Βαρουχάκης, Αδαμόπουλος, Γιαννίκος, Μπέτσης, Νοταράς, Σολδάτος, Φωτόπουλος)
Σημειώσεις φοιτητών στην e-class για το μάθημα της Βασικής Άλγεβρας.
#Ύλη Εξέτασης
Μαθηματική επαγωγή (Θεωρείται γνωστή δεξιότητα) Διαιρετότητα στους ακεραίους, ιδιότητες, διάσπαση σε πρώτους, μέγιστος κοινός διαιρέτης, Θεμελιώδες θεώρημα της Αριθμητικής Ευκλείδιος Αλγοριθμος.
Ισοτιμίες, ακέραιοι mod m (σχέσεις ισοδυναμίας, σύνολο των κλάσεων, πράξεις μεταξύ ακεραίων mod m). Αντιστρέψιμα στοιχεία mod m, το μικρό θεώρημα του Fermat.
Επίλυση εξισώσεων $ax+by=c$, συστήματα ισοτιμιών το θεώρημα του Κινέζου.
Η συνάρτηση $\phi$ του Euler, το θεώρημα το Euler Εκτός ύλης το RSΑ και τα παραδείγματα της 1.3.8
Δακτύλιοι
Ορισμοί - παραδείγματα- υποδακτύλιοι. Ακέραιες περιοχές και σώματα, Ιδεώδη. Χαρακτηρισμός των ιδεωδών του Z, K[x] όπου Κ σώμα.
Πολυώνυμα και πολυωνυμικές συναρτήσεις. Παρεμβολη Lagrange, πολυώνυμα πολλών μεταβλητών.
Διαίρεση στον δακτύλιο των πολυωνύμων, ιδιότητες, ευκλείδιος Αλγοριθμος.
Ρίζες πολυωνύμων και ανάγωγα πολυώνυμα. Διπλές ρίζες και παράγωγος. Το θεώρημα του Wilson. Ιδιότητα των συζυγών ριζών πραγματικών πολυωνύμων.
Ομομορφισμοί, χαρακτηριστική, παραδείγματα.
Η τομή το άθροισμα και το γινόμενο ιδεωδών. Το ιδεώδες που παράγουν στοιχεία ενός δακτυλίου.
Δακτύλιος πηλίκο και τα θεωρήματα ισομορφισμών, παραδείγματα. Πρώτα και μέγιστα ιδεώδη. Το κριτήριο πρώτου και μέγιστου ιδεώδους με το πηλίκο. Πεπερασμένες ακ. περιοχές είναι σώματα.
Πεπερασμένα σώματα, ύπαρξη σώματος με p^k στοιχεία. Πεπερασμένες υποομάδες της πολ/κης ομάδας σώματος.
Αλγεβρικά και υπερβατικά στοιχεία. Οι κατασκευές με κανόνα και διαβήτη εκτός ύλης. Επίσης εκτός ύλης είναι και ο σχεδιασμός
Το 3ο κεφάλαιο σχετικά με την παραγοντοποίηση είναι εκτός ύλης.
Ομάδες, ορισμός παραδείγματα Συμμέτρικές ομάδες. πολλαπλασιασμός μεταθέσεων. Ανάλυση σε γινόμενο κύκλων, τάξη στοιχείου, άρτιες-περιττές μεταθέσεις ανάλυση σε γινόμενο αντιμεταθέσεων.
Υποομάδες και το Θεώρημα του Lagrange, παραγόμενη ομάδα. Ανάλυση σε πλευρικές υποομάδες, κανονικές υποομάδες,ομάδες πηλίκο το πρώτο θεώρημα ισομορφισμών.
Κυκλικές ομάδες, υποομάδες κυκλικών ομάδων γεννήτορες υποομάδων της κυκλικής. Ομομορφισμοί κυκλικών ομάδων.
Ομάδες γινόμενο, χαρακτηρισμός ομάδων με τάξη μικρότερης ή ίσης του 7.
Χωροχρονικές συντεταγμένες:
Γ32 Δευτέρα-Τετάρτη-Παρασκευή 9:00-11:00
#Σύνδεσμοι
E-class Γραφτείτε στο μάθημα ώστε να λαμβάνετε τις ηλεκτρονικές ανακοινώσεις του μαθήματος.
Ασκήσεις Παναγιώτη Παραματζόγλου
Δευτέρα 17 Οκτωβρίου 2020
Οι φυσικοί αριθμοί ως έννοια. Η αρχή του ελαχίστου στοιχείου και η αρχή της επαγωγής. (Εκτός ύλης τα αξιώματα του Peano)
Σχέσεις ισοδυναμίας και το σύνολο πηλίκο. Η κατασκευή των ακεραίων από τους φυσικούς.
Leopold Kronecker:”Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk”
Περιγραφή άλλων αλγεβρικών δομών που ορίζονται ως πηλίκα σχέσεις ισοδυναμίας: οι ρητοί (κλάσεις ισοδυναμίας μη ανάγωγων κλασμάτων) και οι πραγματικοί (κλάσεις ισοδυναμίας ακολουθιών Cauchy).