Η άλγεβρα είναι ένας ευρύς κλάδος των μαθηματικών ο οποίος είναι αφιερωμένος στην μελέτη των πράξεων και των αλγεβρικών δομών - δηλαδή στην μελέτη συνόλων εφοδιασμένων με πράξεις.
Η Άλγεβρα χρησιμοποιείται σε πολλούς κλάδους των μαθηματικών και της επιστήμης γενικότερα. Για παράδειγμα η αλγεβρική τοπολογία χρησιμοποιεί τις δομές και τις τεχνικές της άλγεβρα στην μελέτη της τοπολογίας. Η αλγεβρική Γεωμετρία εφαρμόζει της έννοιες της Άλγεβρας στην μελέτη γεωμετρικών πολλαπλοτήτων ενώ η Αλγεβρική Θεωρία Αριθμών μελετά γενικεύσεις των ακεραίων αριθμών προκειμένου να τις εφαρμόσει σε προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών και των Διοφαντικών Εξισώσεων. Μεγάλη επιτυχία των παραπάνω τεχνικών τα τελευταία χρόνια ήταν η απόδειξη του τελευταίου Θεωρήματος του Fermat από τον Andrew Wiles.
Στην φυσική σημαντικές εφαρμογές έχει η θεωρία των ομάδων η οποία είναι ένα βασικό εργαλείο για την μελέτη της συμμετρίας, για παράδειγμα το Standard Model, η Κρυσταλογραφία και πολλά άλλα.
Ποιος είναι ρόλος της Άλγεβρας στα εφαρμοσμένα Μαθηματικα David A. Cox Notices AMS 2005.
Στόχοι του Μαθήματος
Οι φοιτητές μετά το τέλος του μαθήματος θα πρέπει να έχουν αποκτήσει τα βασικά εφόδια και τις γνώσεις ώστε να εμβαθύνουν σε περισσότερες εφαρμογές της άλγεβρας που θα διδαχτούν σε επόμενα μαθήματα.
Θα πρέπει να έχουν κατανοήσει τα πλεονεκτήματα μιας ενοποιημένης αντιμετώπισης των αλγεβρικών δομών, θα έχουν εξοικειωθεί με παραδείγματα τέτοιων δομών (ομάδες, δακτύλιοι, πολυώνυμα) και με τον γενικότερο τρόπο συλλογισμού στην αφηρημένη Άλγεβρα.
Περιεχόμενο του μαθήματος
Στοιχεία από τη Στοιχειώδη Θεωρία Αριθμών (διαιρετότητα ακεραίων και ισοτιμίες modulo $m$).
Στοιχεία από τη Θεωρία Δακτυλίων (δακτύλιοι, σώματα, δακτύλιοι πολυωνύμων, ομομορφισμοί, ιδεώδη και πηλίκα, εφαρμογές).
Στοιχεία από τη Θεωρία Ομάδων (συμμετρίες και μεταθέσεις, ομομορφισμοί, κανονικές υποομάδες, πηλίκα).
Βιβλία:
Δ. Βάρσος, Δ. Δεριζιώτης, Ι. Εμμανουήλ, Μ. Μαλιάκας, Ο. Ταλέλλη: Μια Εισαγωγή στην Άλγεβρα, Νέα Έκδοση.
Η πρώτη έκδοση του βιβλίου υπάρχει εδώ
FRALEIGH B. JOHN ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης
Απόσπασμα κεφ. Άλγεβρας Βιβλίου 3ης Λυκείου 1990 (Βαρουχάκης, Αδαμόπουλος, Γιαννίκος, Μπέτσης, Νοταράς, Σολδάτος, Φωτόπουλος)
Σημειώσεις φοιτητών στην e-class για το μάθημα της Βασικής Άλγεβρας.
#Ύλη Εξέτασης
Μαθηματική επαγωγή (Θεωρείται γνωστή δεξιότητα) Διαιρετότητα στους ακεραίους, ιδιότητες, διάσπαση σε πρώτους, μέγιστος κοινός διαιρέτης, Θεμελιώδες θεώρημα της Αριθμητικής Ευκλείδιος Αλγοριθμος.
Ισοτιμίες, ακέραιοι mod m (σχέσεις ισοδυναμίας, σύνολο των κλάσεων, πράξεις μεταξύ ακεραίων mod m). Αντιστρέψιμα στοιχεία mod m, το μικρό θεώρημα του Fermat.
Επίλυση εξισώσεων $ax+by=c$, συστήματα ισοτιμιών το θεώρημα του Κινέζου.
Η συνάρτηση $\phi$ του Euler, το θεώρημα το Euler Εκτός ύλης το RSΑ και τα παραδείγματα της 1.3.8
Δακτύλιοι
Ορισμοί - παραδείγματα- υποδακτύλιοι. Ακέραιες περιοχές και σώματα, Ιδεώδη. Χαρακτηρισμός των ιδεωδών του Z, K[x] όπου Κ σώμα.
Πολυώνυμα και πολυωνυμικές συναρτήσεις. Παρεμβολη Lagrange, πολυώνυμα πολλών μεταβλητών.
Διαίρεση στον δακτύλιο των πολυωνύμων, ιδιότητες, ευκλείδιος Αλγοριθμος.
Ρίζες πολυωνύμων και ανάγωγα πολυώνυμα. Διπλές ρίζες και παράγωγος. Το θεώρημα του Wilson. Ιδιότητα των συζυγών ριζών πραγματικών πολυωνύμων.
Ομομορφισμοί, χαρακτηριστική, παραδείγματα.
Η τομή το άθροισμα και το γινόμενο ιδεωδών. Το ιδεώδες που παράγουν στοιχεία ενός δακτυλίου.
Δακτύλιος πηλίκο και τα θεωρήματα ισομορφισμών, παραδείγματα. Πρώτα και μέγιστα ιδεώδη. Το κριτήριο πρώτου και μέγιστου ιδεώδους με το πηλίκο. Πεπερασμένες ακ. περιοχές είναι σώματα.
Πεπερασμένα σώματα, ύπαρξη σώματος με p^k στοιχεία. Πεπερασμένες υποομάδες της πολ/κης ομάδας σώματος.
Αλγεβρικά και υπερβατικά στοιχεία. Οι κατασκευές με κανόνα και διαβήτη εκτός ύλης. Επίσης εκτός ύλης είναι και ο σχεδιασμός
Το 3ο κεφάλαιο σχετικά με την παραγοντοποίηση είναι εκτός ύλης.
Ομάδες, ορισμός παραδείγματα Συμμέτρικές ομάδες. πολλαπλασιασμός μεταθέσεων. Ανάλυση σε γινόμενο κύκλων, τάξη στοιχείου, άρτιες-περιττές μεταθέσεις ανάλυση σε γινόμενο αντιμεταθέσεων.
Υποομάδες και το Θεώρημα του Lagrange, παραγόμενη ομάδα. Ανάλυση σε πλευρικές υποομάδες, κανονικές υποομάδες,ομάδες πηλίκο το πρώτο θεώρημα ισομορφισμών.
Κυκλικές ομάδες, υποομάδες κυκλικών ομάδων γεννήτορες υποομάδων της κυκλικής. Ομομορφισμοί κυκλικών ομάδων.
Ομάδες γινόμενο, χαρακτηρισμός ομάδων με τάξη μικρότερης ή ίσης του 7.
#Χειρόγραφες Σημειώσεις (Προσφορά της Μαρίας Παναγιωτίδη)
Χωροχρονικές συντεταγμένες: (για τα ψηφία 5,6,7)
Αμφιθέατρο 23 Δευτέρα-Τετάρτη-Παρασκευή 13:00-15:00
#Σύνδεσμοι
E-class Γραφτείτε στο μάθημα ώστε να λαμβάνετε τις ηλεκτρονικές ανακοινώσεις του μαθήματος.
Ασκήσεις Παναγιώτη Παραματζόγλου
#15 εβδομάδα
Παρασκευή 23 Ιανουαρίου Επίλυση Ασκήσεων
Τετάρτη 21 Ιανουαρίου Επίλυση Ασκήσεων
Τρίτη 20 Ιανουαρίου Επίλυση Ασκήσεων
Δευτέρα 19 Ιανουαρίου Επίλυση Ασκήσεων
#14 εβδομάδα
Παρασκευή 16 Ιανουαρίου Επίλυση Ασκήσεων
Τετάρτη 14 Ιανουαρίου Επίλυση Ασκήσεων
Τρίτη 13 Ιανουαρίου Επίλυση Ασκήσεων
Δευτέρα 12 Ιανουαρίου Επίλυση Ασκήσεων
#13 εβδομάδα
Παρασκευή 9 Ιανουαρίου
Η πολλαπλασιαστική ομάδα άπειρου σώματος δεν μπορεί να είναι κυκλική. Ταξινόμηση ομάδων μέχρι τάξης 7.
Τετάρτη 7 Ιανουαρίου
Πλήθος στοιχείων τάξης $\delta$ σε κυκλική ομάδα για κάθε $\delta \mid n$, $n= |G|$. Απόδειξη του τύπου
\[\sum_{\delta \mid n} \phi(\delta)=n.\]Κάθε πεπερασμένη υποομάδα της πολλαπλασιαστικής ομάδας $\mathbb{F}^*$ ενός σώματος $\mathbb{F}$ είναι κυκλική.
Πρωταρχικές ρίζες modulo $p$, το πρόβλημα του διακριτού λογαρίθμου.
#12 εβδομάδα
Δευτέρα 22 Δεκεμβρίου
Ομάδες γινόμενο. Η ομάδα $\frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}} \times \frac{\mathbb{Z}}{m\mathbb{Z}}$ είναι ισόμορφη με την $\frac{\mathbb{Z}}{nm \mathbb{Z}}$ αν και μόνο αν $(n,m)=1$.
Κυκλικές ομάδες και γεννήτορες. Πλήθος γεννητόρων κυκλικής ομάδας.
#11 εβδομάδα
Παρασκευή 19 Δεκεμβρίου
Το θεώρημα ισομορφισμών $G/\mathrm{ker}\phi \cong \mathrm{Im}\phi$. Παραδείγματα.
Τετάρτη 17 Δεκεμβρίου
Κανονικές υποομάδες ομάδες πηλίκο, Παραδείγματα.
Τρίτη 16 Δεκεμβρίου
3ώρο μάθημα ασκήσεων (αναπλήρωση)
Δευτέρα 15 Δεκεμβρίου
Αριστερά και δεξιά σύμπλοκα υποομάδας. Το θέωρημα του Lagrange εφαρμογές. Ομάδες τάξης $p$.
#10η εβδομάδα
Παρασκευή 12 Δεκεμβρίου
Απόδειξη ότι $P$ πρώτο αν και μόνο αν $R/P$ ακαιρέα περιοχή και $M$ μέγιστο αν και μόνο αν $R/M$ σώμα.
Τετάρτη 10 Δεκεμβρίου
Πεπερασμένα σώματα. Κάθε πεπερασμένο σώμα έχει $p^h$ το πλήθος στοιχεία όπου $p$ πρώτος και $h \in \mathbb{N}$. Για κάθε δύναμη πρώτου υπάρχει ένα τέτοιο σώμα. Πρώτα και μέγιστα ιδεώδη.
Τρίτη 9 Δεκεμβρίου 2014
3ώρο μάθημα ασκήσεων (αναπλήρωση)
Δευτέρα 8 Δεκεμβρίου 2014
Το δεύτερο και τρίτο θεώρημα ισομορφισμών δακτυλίων. Κατασκευή του σώματος κλασμάτων ακαιρέας περιοχής. Χαρακτηριστική δακτυλίου.
#9η εβδομάδα
Παρασκευή 5 Δεκεμβρίου 2014
Επανάληψη ορισμού δακτυλίου πηλίκου. Παραδείγματα. Αν $\mathbb{F}$ σώμα Το πηλίκο $\mathbb{F}[x]/f(x)\mathbb{F}[x]$ είναι σώμα αν και μόνο αν το $f$ είναι ανάγωγο πολυώνυμο.
Πεπερασμένα σώματα. Το πρώτο θεώρημα ισομορφισμών.
Δευτέρα 1 Δεκεμβρίου 2014
Χαρακτηρισμός των αναγώγων πολυωνύμων στο $\mathbb{C}[x]$ και στο $\mathbb{R}[x]$.
Το κριτήριο της αναγωγής modulo $p$ προκειμένου να αποδείξουμε ότι ένα πολυώνυμο δεν είναι ανάγωγο στο $\mathbb[Z][x]$.
Τομή ιδεωδών, το ιδεώδες που παράγεται από ένα σύνολο, άθροισμα και γινόμενο ιδεωδών.
Ορισμός του δακτυλίου πηλίκου $R/I$ όταν το $I$ είναι ιδεώδες του $R$. Καλά ορισμένες πράξεις.
#8η εβδομάδα
Παρασκευή 28 Νοεμβρίου 2014
Ρίζες πολυωνύμων και διαίρεση με $(x-a)$. Ανάπτυγμα πολυωνύμου σε πολυώνυμο Taylor.
Εφαρμογές: Το θεώρημα Wilson $(p-1)! \equiv -1 mod p$ και το κριτήριο του Euler: $x^2 \equiv a$ έχει λύση $mod p $ αν και μόνο αν $a^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1 mod p$ για $p$ πρώτο $p\neq 2$.
Πολυώνυμα βαθμού $2,3$ είναι ανάγωγα στο $\mathbb{F}[x]$ αν και μόνο αν δεν έχουν ρίζα.
Κριτήριο ρίζας: Το πολυώνυμο $\sum_{i=0}^n a_i x^i$, $a_i \in \mathbb{Z}$ έχει ρίζα $r/s \in \mathbb{Q}$ αν και μόνο αν $r \mid a_0$ και $s \mid a_n$.
#7η εβδομάδα
Τετάρτη 19 Νοεμβρίου 2014
Ιδιότητες διαίρεσης σε δακτυλίους πολυωνύμων. Ο δακτύλιος $\mathbb{F}[x]$ με $\mathbb{F}$ σώμα, είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών. Μέγιστος κοινός διαιρέτης πολυωνύμων. Ο αλγόριθμος του Ευκλείδη για πολυώνυμα. Ανάγωγα πολυώνυμα και μονοσήμαντη ανάλυση σε ανάγωγα.
#6η εβδομάδα
Τετάρτη 12 Νοεμβρίου 2014
Πράξεις με πολυώνυμα διαίρεση με πηλίκο και υπόλοιπο. Παρεμβολή. Κάθε συνάρτηση μεταξύ πεπερασμένων σωμάτων είναι πολυωνυμική. Αντιμεταθετικοί δακτύλιοι και εφαρμογές (Αλγεβρική Θεωρία Αριθμών, Αλγεβρική Γεωμετρία
Δευτέρα 10 Νοεμβρίου 2014
Γινόμενο δακτυλίων. To Θεώρημα του κινέζου και η συνάρτηση $\phi$ μέσω θεωρίας Δακτυλίων. Τα σώματα δεν έχουν ιδεώδη εκτός από τα τετριμμένα.
Ο δακτύλιος ομάδος $\mathbb{F}[G]$. Πολυώνυμα μιας μεταβλητής.
#5η εβδομάδα
Τετάρτη 5 Νοεμβρίου 2014
Ορισμός υποδακτυλίου και σώματος. Κάθε πεπερασμένη ακεραία περιοχή είναι σώμα. Ομομορφισμοί δακτυλίων, πυρήνας. Ιδεώδη. Χαρακτηρισμός των ιδεωδών του $\mathbb{Z}$.
Δευτέρα 3 Νοεμβρίου 2014
Ορισμός Δακτυλίου, παραδείγματα. Διαιρέτες του μηδενός, ακ. περιοχές. Η ομάδα των μονάδων. Παραδείγματα, μονάδες των ακεραίων του Gauss.
#4η εβδομάδα
Παρασκευή 31 Οκτωβρίου 2014
Ομομορφισμοί ομάδας. Το ουδέτερο πηγαίνει στο ουδέτερο και το αντίστροφο στο αντίστροφο. Παραδείγματα.
Μονομορφισμός, επιμορφισμός, ισομορφισμός.
Η ομάδα των $n$-οστών ριζών της μονάδας είναι ισόμορφη με την ομάδα ακαιρέων modulo $n$.
Πυρήνας και Εικόνα. Ένας ομομορφισμός είναι μονομορφισμός αν και μόνο αν ο πυρήνας είναι η τετριμμένη ομάδα.
Γενίκευση της έννοιας της υπομάδας: θα λέμε ότι η ομάδα $H$ είναι υποομάδα της ομάδας $G$ αν και μόνο αν η $H$ είναι ισόμορφη με υποσύνολο $H’$ της $G$ που είναι υποομάδα της $G$.
Τετάρτη 29 Οκτωβρίου 2014
Περισσότερα παραδείγματα πολ/σμού μεταθέσεων. Μέθοδος εύρεσης τάξης μετάθεσης: ανάλυση σε ξένους κύκλους και η τάξη είναι το ελάχιστο κοινό πολ/σιο των μηκών των κύκλων.
Υποομάδες. Κριτήρια για να είναι ένα υποσύλονο $Η \subset G$ μιας ομάδας $G$ υποομάδα: κλειστότητα της πράξης και κάθε στοιχείο $a\in H$ να έχει αντίστροφο στο $Η$.
Παραδείγματα υποομάδων. Η ομάδα των $n$-ριζών της ομάδας.
Δευτέρα 27 Οκτωβρίου 2014
Παραδείγματα πεπερασμένων ομάδων και ο πίνακας πολ/σμου. Εύρεση των ομάδων με τάξεις $1,2,3,4$
Τάξη στοιχείου. Συμμετρική ομάδα. Γραφή και πολ/σμός μεταθέσεων. Κύκλοι. Παραδείγματα γραφής μεταθέσεων ως γινόμενα ξένων κύκλων.
#3η εβδομάδα
Παρασκευή 24 Οκτωβρίου 2014
Ασκήσεις πάνω στην συνάρτηση $\phi$.
Ορισμός ομάδας. Το ουδέτερο και το αντίστροφο είναι μοναδικά. Παραδείγματα ομάδων.
Τετάρτη 22 Οκτωβρίου 2014
Εφαρμόγες της συνάρτησης $\phi$.
Το σύστημα δημοσίου κλειδιού των RSA
Δευτέρα 20 Οκτωβρίου 2014
Το θεώρημα υπολοίπων του Κινέζου
Αντιστρέψιμα στοιχεία mod n. Υπολογισμός της $\phi$-συνάρτησης του Euler
#2η εβδομάδα
Παρασκευή 17 Οκτωβρίου 2014
Γενικά για σχέσεις ισοδυναμιάς, η διαμέριση σε κλάσεις ισοδυναμίας, το σύνολο πηλίκο.
Λύσεις της Διοφαντικής εξίσωσης $ax+by = c$.
Τετάρτη 15 Οκτωβρίου 2014
Απόδειξη ότι $(a+b)^p\equiv a^p +b^p mod p$. Το μικρό θεώρημα του Fermat
Λύση της εξίσωσης $ax \equiv b \mod m$. Αντιστρέψιμα στοιχεία modulo $m$.
Δευτέρα 13 Οκτωβρίου 2014
Το ανάπτυγμα ενός αριθμού $a$ σε βάση $b$. Ορισμός Ελάχιστου κοινού πολλαπλασίου. Ο τύπος \((a,b)[a,b]=ab.\) Ισοτιμίες modulo $m$ και ιδιότητές τους.
Παραδείγματα.
#1η εβδομάδα
Παρασκευή 10 Οκτωβρίου 2014
Το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής. Ασκήσεις στην διαίρεση.
Τετάρτη 8 Οκτωβρίου 2014
Διαίρεση στο $\mathbb{Z}$. Βασικές ιδιότητες. Η έννοια του πρώτου αριθμού. Υπάρχουν άπειροι πρώτοι. Κάθε αριθμός αναλύεται σε γινόμενο πρώτων.
Διαίρεση με πηλίκο και υπόλοιπο. Μοναδικότητα του πηλίκου και υπολοίπου. Αν ένας πρώτος διαιρεί το γινόμενο δύο αριθμών τότε διαιρεί τουλάχιστον έναν από τους δύο.
Δευτέρα 6 Οκτωβρίου 2014
Οι φυσικοί αριθμοί ως έννοια. Η αρχή του ελαχίστου στοιχείου και η αρχή της επαγωγής. (Εκτός ύλης τα αξιώματα του Peano)
Σχέσεις ισοδυναμίας και το σύνολο πηλίκο. Η κατασκευή των ακεραίων από τους φυσικούς.
Leopold Kronecker:”Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk”
Περιγραφή άλλων αλγεβρικών δομών που ορίζονται ως πηλίκα σχέσεις ισοδυναμίας: οι ρητοί (κλάσεις ισοδυναμίας μη ανάγωγων κλασμάτων) και οι πραγματικοί (κλάσεις ισοδυναμίας ακολουθιών Cauchy).