Page Menu
Contact
Office: 201
Email
Phone Number:
210 7276509
Address:
Department of Mathematics
National and Kapodistrian University of Athens
Panepistimioupolis,
GR-157 84, Athens
Greece
Links:
- Mathscinet
- Zentralblatt
- Computer Science Bibliography
- Google Scholar
-
arXiv
- Microsoft Academic Search
- Personal Photos
- My Photos on Flickr
Αντιμεταθετική Άλγεβρα
Η αντιμεταθετική άλγεβρα είναι ο κλάδος της Άλγεβρας που μελετά αντιμεταθετικούς δακτυλίους και τα ιδεώδη τους και πρότυπα πάνω από αυτούς. Η αντιμεταθετική άλγεβρα είναι βασικό εργαλείο στην αλγεβρική θεωρία αριθμών και την αλγεβρική γεωμετρία.
Περιεχόμενο του μαθήματος
- Δακτύλιοι της Noether και δακτύλιοι του Artin.
- Θεώρημα βάσης του Hilbert.
- Ακέραια εξάρτηση και κανονικοποίηση της Noether.
- Nullstellensatz και γεωμετρικές εφαρμογές.
- Τοπικοποίηση, πρωταρχική ανάλυση ιδεωδών.
- Δακτύλιοι διακριτής εκτίμησης
η-τάξη
Όσοι ενδιαφέρονται ας γραφτούν στην η-τάξη ώστε να λαμβάνουν τις ανακοινώσεις του μαθήματος.
Βιβλία:
- Μιχάλης Μαλιάκας Εισαγωγή στην μεταθετική άλγεβρα ISBN 978-960-88637-4-3 εκδόσεις Σοφία 2008
- Χαρά Χαραλάμπους Μια εισαγωγή στην Αντιμεταθετική Άλγεβρα
- Μιχάλης Δώρος – Ιωάννης υιός Δονάλδου Introduction to Commutative Algebra ADDISON-WESLEY PUBLISHING COMPANY
Χωροχρονικές συντεταγμένες:
Πέμπτη 9:00-12:00 Γ33
Ασκήσεις
Ημερολόγιο Μαθήματος
28/9/2017, 1o μάθημα.
Εισαγωγή.
Λόγοι που οδήγησαν στην ανάπτυξη της αντιμεταθετικής άλγεβρας:
- Η ανάγκη μελέτης των γεωμετρικών αντικειμένων οδήγησε στη χρήση αλγεβρικών μεθόδων.
- Το τελευταίο θεώρημα του Fermat και η ανάγκη παραγοντοποίησης του στον δακτύλιο .
- Η ανάπτυξη της υπολογιστικής άλγεβρας και η χρήση βάσεων Groebner για την επίλυση συστημάτων αλγεβρικών εξισώσεων.
Κεφάλαιο 1
- Ορισμός δακτυλίου, υποδακτυλίου και ιδεώδους. Δακτύλιος πηλίκο. Ομομορφισμοί.
- Η σχέση των ιδεωδών ενός δακτυλίου και των ιδεωδών του δακτυλίου πηλίκο .
- Ακέραιες περιοχές και μηδενοδύναμα στοιχεία.
- Χαρακτηρισμός σωμάτων από τα ιδεώδη.
- Πρώτα ιδεώδη, μέγιστα ιδεώδη και ιδιότητές τους.
- Λήμμα του Zorn. Απόδειξη ότι κάθε δακτύλιος (με μονάδα) έχει μέγιστο ιδεώδες.
- Τοπικοί δακτύλιοι και χαρακτηρισμός τους.
5/10/2017, 2o μάθημα.
Πρώτα και μέγιστα ιδεώδη
Πρώτα ιδεώδη. Κύρια ιδεώδη. Περιοχές κύριων ιδεωδών. Ιδιότητες. Μέγιστα
ιδεώδη.
Θεώρημα: Σε κάθε ΠΚΙ κάθε μη μηδενικό πρώτο ιδεώδες είναι μέγιστο.
Παράδειγμα: Ο δεν είναι ΠΚΙ.
Nilradical και το ριζικό του Jacobson
Μηδενοδύναμα στοιχεία. Ορισμός του Nilradical.
Θεώρημα: Κάθε μέγιστο ιδεώδες είναι πρώτο.
Πράξεις μεταξύ ιδεωδών: Άθροισμα, τομή και γινόμενο.
Γινόμενο δακτυλίων.
Το θεώρημα υπολοίπων του Κινέζου.
Επέκταση και περιορισμός ιδεωδών.
12/10/2017, 3o μάθημα.
Πρότυπα, υποπρότυπα και πρότυπα πηλίκο. Πράξεις μεταξύ προτύπων, ευθύ άθροισμα.
Χαρακτηριστικό πολυώνυμο και το λήμμα του Nakayama. Στοιχεία που παράγουν πρότυπα πάνω από τοπικούς δακτυλίους.
Ακριβείς ακολουθίες, Τανυστικά γινόμενα προτύπων.
19/10/2017, 4ο μάθημα.
Aristides Kontogeorgis
Page Menu
Contact
Office: 201Phone Number:
210 7276509
Address: Department of Mathematics
National and Kapodistrian University of Athens
Panepistimioupolis,
GR-157 84, Athens Greece
Links:
- Mathscinet
- Zentralblatt
- Computer Science Bibliography
- Google Scholar
- arXiv
- Microsoft Academic Search
- Personal Photos
- My Photos on Flickr
Αντιμεταθετική Άλγεβρα
Η αντιμεταθετική άλγεβρα είναι ο κλάδος της Άλγεβρας που μελετά αντιμεταθετικούς δακτυλίους και τα ιδεώδη τους και πρότυπα πάνω από αυτούς. Η αντιμεταθετική άλγεβρα είναι βασικό εργαλείο στην αλγεβρική θεωρία αριθμών και την αλγεβρική γεωμετρία.
Περιεχόμενο του μαθήματος
- Δακτύλιοι της Noether και δακτύλιοι του Artin.
- Θεώρημα βάσης του Hilbert.
- Ακέραια εξάρτηση και κανονικοποίηση της Noether.
- Nullstellensatz και γεωμετρικές εφαρμογές.
- Τοπικοποίηση, πρωταρχική ανάλυση ιδεωδών.
- Δακτύλιοι διακριτής εκτίμησης
η-τάξη
Όσοι ενδιαφέρονται ας γραφτούν στην η-τάξη ώστε να λαμβάνουν τις ανακοινώσεις του μαθήματος.
Βιβλία:
- Μιχάλης Μαλιάκας Εισαγωγή στην μεταθετική άλγεβρα ISBN 978-960-88637-4-3 εκδόσεις Σοφία 2008
- Χαρά Χαραλάμπους Μια εισαγωγή στην Αντιμεταθετική Άλγεβρα
- Μιχάλης Δώρος – Ιωάννης υιός Δονάλδου Introduction to Commutative Algebra ADDISON-WESLEY PUBLISHING COMPANY
Χωροχρονικές συντεταγμένες:
Πέμπτη 9:00-12:00 Γ33
Ασκήσεις
Ημερολόγιο Μαθήματος
28/9/2017, 1o μάθημα.
Εισαγωγή.
Λόγοι που οδήγησαν στην ανάπτυξη της αντιμεταθετικής άλγεβρας:
- Η ανάγκη μελέτης των γεωμετρικών αντικειμένων οδήγησε στη χρήση αλγεβρικών μεθόδων.
- Το τελευταίο θεώρημα του Fermat και η ανάγκη παραγοντοποίησης του στον δακτύλιο .
- Η ανάπτυξη της υπολογιστικής άλγεβρας και η χρήση βάσεων Groebner για την επίλυση συστημάτων αλγεβρικών εξισώσεων.
Κεφάλαιο 1
- Ορισμός δακτυλίου, υποδακτυλίου και ιδεώδους. Δακτύλιος πηλίκο. Ομομορφισμοί.
- Η σχέση των ιδεωδών ενός δακτυλίου και των ιδεωδών του δακτυλίου πηλίκο .
- Ακέραιες περιοχές και μηδενοδύναμα στοιχεία.
- Χαρακτηρισμός σωμάτων από τα ιδεώδη.
- Πρώτα ιδεώδη, μέγιστα ιδεώδη και ιδιότητές τους.
- Λήμμα του Zorn. Απόδειξη ότι κάθε δακτύλιος (με μονάδα) έχει μέγιστο ιδεώδες.
- Τοπικοί δακτύλιοι και χαρακτηρισμός τους.
5/10/2017, 2o μάθημα.
Πρώτα και μέγιστα ιδεώδη
Πρώτα ιδεώδη. Κύρια ιδεώδη. Περιοχές κύριων ιδεωδών. Ιδιότητες. Μέγιστα ιδεώδη.
Θεώρημα: Σε κάθε ΠΚΙ κάθε μη μηδενικό πρώτο ιδεώδες είναι μέγιστο.
Παράδειγμα: Ο δεν είναι ΠΚΙ.
Nilradical και το ριζικό του Jacobson
Μηδενοδύναμα στοιχεία. Ορισμός του Nilradical.
Θεώρημα: Κάθε μέγιστο ιδεώδες είναι πρώτο.
Πράξεις μεταξύ ιδεωδών: Άθροισμα, τομή και γινόμενο.
Γινόμενο δακτυλίων.
Το θεώρημα υπολοίπων του Κινέζου.
Επέκταση και περιορισμός ιδεωδών.
12/10/2017, 3o μάθημα.
Πρότυπα, υποπρότυπα και πρότυπα πηλίκο. Πράξεις μεταξύ προτύπων, ευθύ άθροισμα.
Χαρακτηριστικό πολυώνυμο και το λήμμα του Nakayama. Στοιχεία που παράγουν πρότυπα πάνω από τοπικούς δακτυλίους.
Ακριβείς ακολουθίες, Τανυστικά γινόμενα προτύπων.