Σεμινάριο Επιφανειών Riemann και αλγεβρικών καμπύλων


Ακαδημαϊκό έτος 2010-2011



Ώρες σεμιναρίου: Τρίτη 11:00-13:00, (εκτός από τις τρίτες που υπάρχει Γενική συνέλευση τμήματος)
Περίληψη: Θα ξεκινήσουμε ένα εβδομαδιαίο εισαγωγικό σεμινάριο πάνω στις συμπαγείς επιφάνειες Riemann. Θα δούμε τις συμπαγείς επιφάνειες Riemann από αναλυτική, αλγεβρική και τοπολογική σκοπιά. Στόχος μας είναι να αποδείξουμε το θεωρήμα Riemann-Roch και τις συνέπειες του. Θα μελετήσουμε επίσης θεωρήματα όπως τα Abel-Jacobi, Riemann-Hurwitz την σχέση επιφανειών Riemann αλγεβρικών καμπυλών, uniformization κτλ. Πέρα από κάποιες βασικές γνώσεις μιγαδικής ανάλυσης όλες οι προαπαιτούμενες γνώσεις θα αναπτυχθούν στο σεμινάριο. Μεταπτυχιακοί φοιτητές είναι ιδιαίτερα ευπρόσδεκτοι.


Βιβλιογραφία:
  • Algebraic curves and Riemann surfaces, Rick Miranda Graduate Studies in Mathematcs AMS vol 5.
  • Lectures on Riemann surfaces Otto Forster, Springer GTM vol. 81.
  • Riemann Surfaces Farkas-Kra, Springer GTM vol. 71
  • From Number Theory to physics, chapters 2,7.
  • Uniformization Αλγεβρικών καμπυλών Σωτήρης Καρανικολόπουλος Πτυχιακή εργασία.

    		•

    Ημερολόγιο Σεμιναρίου:
    Τρίτη 7/12/2010 Ορισμός της επιφάνειας Riemann. Χάρτες. Παραδείγματα από επιφάνειες Riemann: Η προβολική ευθεία, Ελλειπτικές καμπύλες, Υπερελλειπτικές καμπύλες. Παραδείγματα αλγεβρικών επίπεδων καμπυλών, το μιγαδικό θεωρήμα πεπελεγμένων συναρτήσεων. Ορισμός ιδιομορφιών.
    Τρίτη 14/12/2010 Προβολικοί χώροι. Επίπεδες αλγεβρικές καμπύλες, ομογενοποίηση αποομογενοποίηση. Το θεώρημα του Bezout. Εφαρμογές στις διοφαντικές εξισώσεις: Πυθαγόριες τριάδες, Ελλειπτικές Καμπύλες, το θεώρημα του Mordell.
    Ιδιομορφίες, Blow-up, desingularization. Αλγεβρικές καμπύλες που δεν είναι επίπεδες.
    Τρίτη 21/12/2010 Ορισμός της απαλείφουσας και της διακρίνουσας πολυωνύμου. Τα ιδιόμορφα σημεία επίπεδης αλγεβρικής καμπύλης είναι πεπερασμένα. Θεωρήματα μονοδρομίας και αναλυτικής συνέχισης. Αν το f(x,y) είναι ανάγωγο τότε το αλγεβρικό σύνολο είναι συνεκτικό.
    Ορισμός της normalization επίπεδης αλγεβρικής καμπύλης.
    Τρίτη 11/01/2011 Διατύπωση και απόδειξη του θεωρήματος προπαρασκευής του Weierstrass για μιγαδικές αναλυτικές συναρτήσεις πολλών μεταβλητών. Συνέπειες του: Το Θεώρημα πεπλεγμένων συναρτήσεων, ο δακτύλιος των αναλυτικών συναρτήσεων είναι περιοχή μοναδικής παραγοντοποίησης. Η τοπική ανάλυση μίας ανάγωγης επίπεδης αλγεβρικής καμπύλης σε ιδιόμορφο σημείο. Τα θεωρήματα της τοπικής και καθολικής normalization. Ιδιομορφίες επίπεδων αλγεβρικών καμπυλών και θεωρία κόμπων.
    Τρίτη 18/01/2011 Ιδιότητες μερομόρφων συναρτήσεων. Ορισμός intersection από επίπεδες αλγεβρικές καμπύλες. Διατύπωση και απόδειξη του Θεωρήματος Bezout.
    Πέμπτη 03/03/2011 Γρήγορη επανάληψη των εννοιών που συναντήσαμε στις προηγούμενες διαλέξεις. Υπολογισμός του σώματος μερομόρφων συναρτήσεων της normalization. Το θεώρημα Riemann-Hurwitz. Βαθμός divisors μερομόρφων διαφορικών.
    Πέμπτη 10/03/2011 Διατύπωση και εφαρμογές του Θεωρήματος των Riemann-Roch. Υπολογισμός διάστασης ολόμορφων διαφορικών, ελλειπτικές συναρτήσεις.
    Πέμπτη 24/03/2011 Εφαρμογές του θεωρήματος Riemann-Roch. Χαρακτηρισμός καμπυλών γένους 0,1. Η ημιομάδα του Weierstrass. Η κανονική εμφύτευση.
    Πέμπτη 31/03/2011 Ορισμός της Wroskian. Κατανομή των σημείων του Weierstrass. Υπερελλειπτικές καμπύλες.
    Πέμπτη 5/04/2011 Στοιχεία διαφορικών μορφών επι επιφανειών Riemann. Συνομολογία De Rham, το θεώρημα διάσπασης του Hodge. H ακριβής ακολουθία των Abel-Jacobi.