Page Menu
Contact
Office: 201
Email
Phone Number:
210 7276509
Address:
Department of Mathematics
National and Kapodistrian University of Athens
Panepistimioupolis,
GR-157 84, Athens
Greece
Links:
- Mathscinet
- Zentralblatt
- Computer Science Bibliography
- Google Scholar
-
arXiv
- Microsoft Academic Search
- Personal Photos
- My Photos on Flickr
Γραμμική Άλγεβρα Ι
Χωροχρονικές συντεταγμένες: (για τα ψηφία 0,1,2)
Αμφιθέατρο 21 Δευτέρα-Τετάρτη-Παρασκευή 11:00-13:00
Σύνδεσμοι
E-class.
Στον σύνδεσμο (ηλεκτονική τάξη) αναζητήστε το διδακτικό βιβλίο, ασκήσεις κτλ.
Ένα χρήσιμο βιβλίο Γραμμικής Άλγεβρας (το οποίο διδάσκονταν στο Πανεπιστήμιο Κρήτης όταν
ήμουν προπτυχιακός φοιτητής).
Ανοικτά μαθήματα Πανεπιστημίου Αθηνών
On-Line μαθήματα
Γραμμικής Άλγεβρας από τον καθ. Gilbert Strang του ΜΙΤ.
Σημειώσεις μαθήματος (από την φοιτήτρια Άντι Σπίνου)
Ασκήσεις
Από την ιστοσελίδα του καθ. Χρήστου Αθανασιάδη.
Κατεβάστε το αρχείο.
Τυπογραφικά λάθη βιβλίου
σελ. 177, γραμμή 7 από το τέλος: τα πρέπει να γίνουν .
Ημερολόγιο Μαθήματος
15η Εβδομάδα
Παρασκευή 16/1/2016
Επίλυση Ασκήσεων
Τετάρτη 14/1/2016
Επίλυση Ασκήσεων
Δευτέρα 12/1/2016
Επίλυση Ασκήσεεων
14η Εβδομάδα
Παρασκευή 8/1/2016
Επίλυση Ασκήσεων
13η Εβδομάδα
Δευτέρα 21/12/2015
Επίλυση Ασκήσεων
12η Εβδομάδα
Παρασκευή 18/12/2015
Το σύστημα έχει λύση αν και μόνο αν η τάξη του πίνακα ταυτίζεται με την τάξη του επαυξημένου. Σύστημα με $m$ το πλήθος αγνώστους έχει μοναδική λύση αν επιπλέον η τάξη είναι ίση με το . Η σχέση μεταξύ των λύσεων του ομογενούς και μη ομογενούς συστήματος. Λύση ασκήσεων.
Τετάρτη 16/12/2015
Απόδειξη της ταυτότητας $\det(AB)=\det(A)\det(B)$. Απόδειξη ότι $\det(A^t)=\det(A)$.
Οι αντιστρέψιμοι πίνακες είναι πυκνοί στο σύνολο των πινάκων. Ασκήσεις.
Δευτέρα 14/12/2015
Τάξη πίνακα. Πότε ή
. Τάξη αντιστρέψιμου πίνακα. Τάξη και ανάστροφος πίνακας. Η τάξη γραμμών είναι ίση με την τάξη στηλών.
11η Εβδομάδα
Παρασκευή 11/12/2015
Παραδείγματα στην εύρεση αντιπροσώπου της κλάσης ισοδυναμίας πινάκων.
Τετάρτη 9/12/2015
Παραδείγματα εύρεσης πίνακα γραμμικής συνάρτησης και αλλαγής βάσης. Ισοδυναμία πινάκων.
Κάθε πίνακας είναι ισοδύναμος με ένα πίνακα ο οποίος
στην πάνω αριστερή γωνία έχει ένα μπλόκ μοναδιαίο πίνακα και σε όλες τις άλλες θέσεις έχει μηδενικά.
Δευτέρα 7/12/2015
Πίνακας σύνθεσης γραμμικών συναρτήσεων, πίνακας ταυτοτικής και αντίστροφης συνάρτησης.
Αλλαγή βάσης.
10η Εβδομάδα
Παρασκευή 4/12/2015
Πίνακες γραμμικής συνάρτησης και μετατροπή συντεταγμένων. Παραδείγματα
Τετάρτη 2/12/2015
Ιδιότητες 1-1 και επί και γραμμικές συναρτήσεις. Πίνακας γραμμικής συνάρτησης.
Παραδείγματα.
Δευτέρα 30/11/2015
Για κάθε επιλογή γραμμικά ανεξάρτητων στοιχείων σε ένα διανυσματικό χώρο $V$ και κάθε επιλογή στοιχείων
σε διανυσματικό χώρο , υπάρχει γραμμική συνάρτηση με $f(v_i)=w_i$.
Παραδείγματα εύρεσης πυρήνα και εικόνας για γραμμικές συναρτήσεις.
Δυο διανυσματικοί χώροι πεπεραμένης διάστασης είναι ισόμορφοι αν και μόνο αν έχουν την ίδια διάσταση οπότε είναι ισόμορφοι με τον .
9η Εβδομάδα
Παρασκευή 27/11/2015
Η έννοια της γραμμικής συνάρτησης. Οι γραμμικές απεικονίσεις στέλνουν γραμμικά εξαρτημένα διανύσματα
σε γραμμικά εξαρτημένα. Οι μονομορφισμοί στέλνουν γραμμικά ανεξάρτητα
σε γραμμικά ανεξάρτητα. Διανύσματα που παράγουν την αφετηρία έχουν εικόνες μέσω επιμορφιμού που παράγουν τον χώρο άφιξης.
Πυρήνας και εικόνα γραμμικής συνάρτησης. Μία γραμμική συνάρτηση είναι μονομορφισμός αν και μόνο αν έχει μηδενικό πυρήνα. Η εικόνα γραμμικού μετασχηματισμού
της μορφής
όπου ο είναι πίνακας ταυτίζεται με τον χώρο στηλών του πίνακα . Μέθοδοι εύρεσης πυρήνα και εικόνας.
Τετάρτη 25/11/2015
Η διάσταση του αθροίσματος
και του πηλίκου
Το λήμμα της εναλλαγής.
Δευτέρα 23/11/2015
Ισότητα υπόχωρων και διαστάσεις. Η διάσταση του αθροίσματος
και του πηλίκου
8η Εβδομάδα
Παρασκευή 20/11/2015
Σε χώρο που παράγεται από
το πλήθος διανύσματα μπορούμε
να βρούμε το πολύ γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα.
Θεώρημα υπάρξης βάσης. Όλες οι βάσεις έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων. Παραδείγματα.
Τετάρτη 18/11/2015
Απόδειξη ότι αν σε σύνολο από γραμμικά εξαρτημένα διανύσματα προσθέσουμε και άλλα θα πάρουμε γραμμικά εξαρτημένα διανύσματα.
Απόδειξη ότι αν από σύνολο από γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα αφαιρέσουμε κάποια θα πάρουμε ανεξάρτητα διανύσματα.
Βάση διανυσματικού χώστου, παραδείγματα.
Δεδομένων το πλήθος διανυσμάτων του , μέθοδος για την εύρεση
μιας βάσης του χώρου .
7η Εβδομάδα
Τετάρτη 11/11/2015
Γραμμικά εξαρτημένα και ανεξάρτητα διανύσματα. Ισοδυναμία ορισμών.
Παραδείγματα.
Δευτέρα 9/11/2015
Διανυσματικός χώρος πηλίκο. Ορισμός και καλά ορισμένο των πράξεων. Ιδιότητες, παραδείγματα.
Χώρος $\langle v_1,\ldots,v_n\rangle$ που παράγουν τα διανύαματα $v_1,\ldots,v_n\in V$. Παραδείγματα, εφαρμογές στην ύπαρξη λύσης γραμμικού συστήματος.
6η Εβδομάδα
Παρασκευή 6/11/2015
Η τομή διανυσματικών υπόχωρων είναι πάντα διανυσματικός υπόχωρος.
Η ένωση δύο διανυσματικών υπόχωρων $W=W_1 \cup W_2$ είναι διανυσματικός υπόχωρος αν και μόνο αν $W_1 \subset W_2$ ή $W_2 \subset W_1$.
Άθροισμα και ευθύ άθροισμα διανυσματικών χώρων, παραδείγματα.
Τετάρτη 4/11/2015
Ορισμός διανυσματικού χώρου, παραδείγματα: χώροι $\mathbb{R}^n$, ακολουθίες, συναρτήσεις, πίνακες. Ορισμός υπόχωρου και το κριτήριο της κλειστότητας.
Παραδείγματα υποχώρων, λύσεις ομογενούς συστήματος.
Δευτέρα 2/11/2015
Ασκήσεις σε ορίζουσες, υπολογισμοί. Η μέθοδος Cramer επίλυσης συστημάτων με ορίζουσες.
5η Εβδομάδα
Παρασκευή 30/10/2015
Απόδειξη του τύπου του Leibniz
Ειδικές περιπτώσεις του παραπάνω τύπου, ορίζουσα πίνακα , , ο μνημονικός
κανόνας του Sarrus. Μοναδικότητα της ορίζουσας.
Δευτέρα 26/10/2015
Συνάρτηση ορίζουσας, υπάρχει και είναι μοναδική. Αναδρομικός ορισμός ορίζουσας.
4η Εβδομάδα
mate
Παρασκευή 23/10/2015
Παραδείγματα υπολογισμού αντίστροφου πίνακα. Ορίζουσες ως συναρτήσεις από το σύνολο των πινάκων στο $\mathbb{R}$. Τι ζητούμε από μια συνάρτηση ορίζουσας. Μεταθέσεις ιδιότητες και σύνθεση. Κάθε μετάθεση γράφεται ως γινόμενο αντιμεταθέσεων.
Ένας πίνακας είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν η ορίζουσα του είναι $\neq 0$.
Τετάρτη 21/10/2015
Παραδείγματα επίλυσης συστήματος. Ομογενή συστήματα, και ιδιότητες λύσεων τους.
Ανηγμένος κλιμακωτός πίνακας. Συνθήκες ώστε το ομογενές σύστημα να έχει άπειρες λύσεις.
Ισοδύναμες συνθήκες ώστε ένα ομογενές σύστημα να έχει μοναδική λύση.
Υπολογισμός αντίστροφου πίνακα. Παραδείγματα.
Δευτέρα 19/10/2015
Εύρεση των πινάκων πολλαπλασιασμού που δίνουν τους στοιχειώδεις μετασχηματισμούς γραμμών. Κλιμακωτή μορφή πίνακα. Παραδείγματα απαλοιφής Gauss.
3η Εβδομάδα
Δευτέρα 12/10/2015
Εισαγωγή στα γραμμικά συστήματα. Επαυξημένος πίνακας, στοιχειώδεις μετασχηματισμοί γραμμών. Οι στοιχειώδεις μετασχηματισμοί γραμμών προκύπτουν με πολλαπλασιασμό από αριστερά με κατάλληλους αντιστρέψιμους πίνακες.
2η Εβδομάδα
Παρασκευή 9/10/2015
Απόδειξη ότι οι $n \times n$ πίνακες $A$, ώστε $Α\cdot B =B \cdot A$ για κάθε $n\times n$ πίνακα $B$,είναι αυτοί της μορφής $A= \lambda \mathbb{I}_n$.
Απόδειξη ιδιοτήτων πολλαπλασιασμού. Ο αντίστροφος πίνακας και η μοναδικότητά του στην περίπτωση που υπάρχει.
Παραδείγματα.
Τετάρτη 7/10/2015
Πολλαπλασιαμός πινάκων, και το σύστημα $Ax=b$. Παραδείγματα. Οι πίνακες $E_{ab}$.
Το γινόμενο διαγωνίων πινάκων είναι διαγώνιος. Το γινόμενο άνω (κάτω) τριγωνικών πινάκων είναι άνω (κάτω) τριγωνικός πίνακας.
Δευτέρα 5/10/2015
Πίνακες. Τετραγωνικοί άνω και κάτω τριγωνικοί, διαγώνιοι. Συμμετρικοί και αντισυμμετρικοί πίνακες. Ισότητα πινάκων. Πρόσθεση πινάκων βαθμωτός πολλ/σμός και ιδιότητες.
Παραδείγματα πολ/σμού πινάκων.
1η Εβδομάδα
Παρασκευή 2/10/2015
Η συνάρτηση ως σχέση. Ισότητα συναρτήσεων, πεδίο ορισμού, σύνολο τιμών. Συναρτήσεις 1-1 και επί, αντιστρέψιμες συναρτήσεις. Γράφημα συνάρτησης, ευθεία και αντίστροφη εικόνα.
Άσκηση: Μια συνάρτηση $f:A \rightarrow A$, όπου $A$ είναι πεπερασμένο σύνολο είναι 1-1 αν και μόνο αν είναι επί.
Σύνθεση συναρτήσεων, αντίστροφη σύνθεσης αν υπάρχει $(f \circ g)^{-1}=g^{-1} \circ f^{-1}$.
Η μέθοδος της επαγωγής παραδείγματα
Τετάρτη 30/09/2015
Στοιχεία από την θεωρία Συνόλων, ένωση, τομή συμπλήρωμα και διαφορά συνόλων.
Καρτεσιανό Γινόμενο. Σχέσεις ως υποσύνολα του καρτεσιανού γινομένου.
Σχέσεις Ισοδυναμίας, παραδείγματα. Κλάσεις ισοδυναμίας, η διαμέριση ενός συνόλου
σε κλάσεις ισοδυναμίας, το σύνολο πηλίκο.
Aristides Kontogeorgis
Page Menu
Contact
Office: 201Phone Number:
210 7276509
Address: Department of Mathematics
National and Kapodistrian University of Athens
Panepistimioupolis,
GR-157 84, Athens Greece
Links:
- Mathscinet
- Zentralblatt
- Computer Science Bibliography
- Google Scholar
- arXiv
- Microsoft Academic Search
- Personal Photos
- My Photos on Flickr
Γραμμική Άλγεβρα Ι
Χωροχρονικές συντεταγμένες: (για τα ψηφία 0,1,2)
Αμφιθέατρο 21 Δευτέρα-Τετάρτη-Παρασκευή 11:00-13:00
Σύνδεσμοι
E-class. Στον σύνδεσμο (ηλεκτονική τάξη) αναζητήστε το διδακτικό βιβλίο, ασκήσεις κτλ.
Ένα χρήσιμο βιβλίο Γραμμικής Άλγεβρας (το οποίο διδάσκονταν στο Πανεπιστήμιο Κρήτης όταν ήμουν προπτυχιακός φοιτητής).
Ανοικτά μαθήματα Πανεπιστημίου Αθηνών
On-Line μαθήματα Γραμμικής Άλγεβρας από τον καθ. Gilbert Strang του ΜΙΤ.
Σημειώσεις μαθήματος (από την φοιτήτρια Άντι Σπίνου)
Ασκήσεις
Από την ιστοσελίδα του καθ. Χρήστου Αθανασιάδη. Κατεβάστε το αρχείο.
Τυπογραφικά λάθη βιβλίου
σελ. 177, γραμμή 7 από το τέλος: τα πρέπει να γίνουν .
Ημερολόγιο Μαθήματος
15η Εβδομάδα
Παρασκευή 16/1/2016
Επίλυση Ασκήσεων
Τετάρτη 14/1/2016
Επίλυση Ασκήσεων
Δευτέρα 12/1/2016
Επίλυση Ασκήσεεων
14η Εβδομάδα
Παρασκευή 8/1/2016
Επίλυση Ασκήσεων
13η Εβδομάδα
Δευτέρα 21/12/2015
Επίλυση Ασκήσεων
12η Εβδομάδα
Παρασκευή 18/12/2015
Το σύστημα έχει λύση αν και μόνο αν η τάξη του πίνακα ταυτίζεται με την τάξη του επαυξημένου. Σύστημα με $m$ το πλήθος αγνώστους έχει μοναδική λύση αν επιπλέον η τάξη είναι ίση με το . Η σχέση μεταξύ των λύσεων του ομογενούς και μη ομογενούς συστήματος. Λύση ασκήσεων.
Τετάρτη 16/12/2015
Απόδειξη της ταυτότητας $\det(AB)=\det(A)\det(B)$. Απόδειξη ότι $\det(A^t)=\det(A)$. Οι αντιστρέψιμοι πίνακες είναι πυκνοί στο σύνολο των πινάκων. Ασκήσεις.
Δευτέρα 14/12/2015
Τάξη πίνακα. Πότε ή . Τάξη αντιστρέψιμου πίνακα. Τάξη και ανάστροφος πίνακας. Η τάξη γραμμών είναι ίση με την τάξη στηλών.
11η Εβδομάδα
Παρασκευή 11/12/2015
Παραδείγματα στην εύρεση αντιπροσώπου της κλάσης ισοδυναμίας πινάκων.
Τετάρτη 9/12/2015
Παραδείγματα εύρεσης πίνακα γραμμικής συνάρτησης και αλλαγής βάσης. Ισοδυναμία πινάκων.
Κάθε πίνακας είναι ισοδύναμος με ένα πίνακα ο οποίος στην πάνω αριστερή γωνία έχει ένα μπλόκ μοναδιαίο πίνακα και σε όλες τις άλλες θέσεις έχει μηδενικά.
Δευτέρα 7/12/2015
Πίνακας σύνθεσης γραμμικών συναρτήσεων, πίνακας ταυτοτικής και αντίστροφης συνάρτησης. Αλλαγή βάσης.
10η Εβδομάδα
Παρασκευή 4/12/2015
Πίνακες γραμμικής συνάρτησης και μετατροπή συντεταγμένων. Παραδείγματα
Τετάρτη 2/12/2015
Ιδιότητες 1-1 και επί και γραμμικές συναρτήσεις. Πίνακας γραμμικής συνάρτησης. Παραδείγματα.
Δευτέρα 30/11/2015
Για κάθε επιλογή γραμμικά ανεξάρτητων στοιχείων σε ένα διανυσματικό χώρο $V$ και κάθε επιλογή στοιχείων σε διανυσματικό χώρο , υπάρχει γραμμική συνάρτηση με $f(v_i)=w_i$.
Παραδείγματα εύρεσης πυρήνα και εικόνας για γραμμικές συναρτήσεις.
Δυο διανυσματικοί χώροι πεπεραμένης διάστασης είναι ισόμορφοι αν και μόνο αν έχουν την ίδια διάσταση οπότε είναι ισόμορφοι με τον .
9η Εβδομάδα
Παρασκευή 27/11/2015
Η έννοια της γραμμικής συνάρτησης. Οι γραμμικές απεικονίσεις στέλνουν γραμμικά εξαρτημένα διανύσματα σε γραμμικά εξαρτημένα. Οι μονομορφισμοί στέλνουν γραμμικά ανεξάρτητα σε γραμμικά ανεξάρτητα. Διανύσματα που παράγουν την αφετηρία έχουν εικόνες μέσω επιμορφιμού που παράγουν τον χώρο άφιξης.
Πυρήνας και εικόνα γραμμικής συνάρτησης. Μία γραμμική συνάρτηση είναι μονομορφισμός αν και μόνο αν έχει μηδενικό πυρήνα. Η εικόνα γραμμικού μετασχηματισμού της μορφής
όπου ο είναι πίνακας ταυτίζεται με τον χώρο στηλών του πίνακα . Μέθοδοι εύρεσης πυρήνα και εικόνας.
Τετάρτη 25/11/2015
Η διάσταση του αθροίσματος
και του πηλίκου
Το λήμμα της εναλλαγής.
Δευτέρα 23/11/2015
Ισότητα υπόχωρων και διαστάσεις. Η διάσταση του αθροίσματος
και του πηλίκου
8η Εβδομάδα
Παρασκευή 20/11/2015
Σε χώρο που παράγεται από το πλήθος διανύσματα μπορούμε να βρούμε το πολύ γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα. Θεώρημα υπάρξης βάσης. Όλες οι βάσεις έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων. Παραδείγματα.
Τετάρτη 18/11/2015
Απόδειξη ότι αν σε σύνολο από γραμμικά εξαρτημένα διανύσματα προσθέσουμε και άλλα θα πάρουμε γραμμικά εξαρτημένα διανύσματα. Απόδειξη ότι αν από σύνολο από γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα αφαιρέσουμε κάποια θα πάρουμε ανεξάρτητα διανύσματα.
Βάση διανυσματικού χώστου, παραδείγματα.
Δεδομένων το πλήθος διανυσμάτων του , μέθοδος για την εύρεση μιας βάσης του χώρου .
7η Εβδομάδα
Τετάρτη 11/11/2015
Γραμμικά εξαρτημένα και ανεξάρτητα διανύσματα. Ισοδυναμία ορισμών. Παραδείγματα.
Δευτέρα 9/11/2015
Διανυσματικός χώρος πηλίκο. Ορισμός και καλά ορισμένο των πράξεων. Ιδιότητες, παραδείγματα.
Χώρος $\langle v_1,\ldots,v_n\rangle$ που παράγουν τα διανύαματα $v_1,\ldots,v_n\in V$. Παραδείγματα, εφαρμογές στην ύπαρξη λύσης γραμμικού συστήματος.
6η Εβδομάδα
Παρασκευή 6/11/2015
Η τομή διανυσματικών υπόχωρων είναι πάντα διανυσματικός υπόχωρος. Η ένωση δύο διανυσματικών υπόχωρων $W=W_1 \cup W_2$ είναι διανυσματικός υπόχωρος αν και μόνο αν $W_1 \subset W_2$ ή $W_2 \subset W_1$.
Άθροισμα και ευθύ άθροισμα διανυσματικών χώρων, παραδείγματα.
Τετάρτη 4/11/2015
Ορισμός διανυσματικού χώρου, παραδείγματα: χώροι $\mathbb{R}^n$, ακολουθίες, συναρτήσεις, πίνακες. Ορισμός υπόχωρου και το κριτήριο της κλειστότητας.
Παραδείγματα υποχώρων, λύσεις ομογενούς συστήματος.
Δευτέρα 2/11/2015
Ασκήσεις σε ορίζουσες, υπολογισμοί. Η μέθοδος Cramer επίλυσης συστημάτων με ορίζουσες.
5η Εβδομάδα
Παρασκευή 30/10/2015
Απόδειξη του τύπου του Leibniz
Ειδικές περιπτώσεις του παραπάνω τύπου, ορίζουσα πίνακα , , ο μνημονικός κανόνας του Sarrus. Μοναδικότητα της ορίζουσας.
Δευτέρα 26/10/2015
Συνάρτηση ορίζουσας, υπάρχει και είναι μοναδική. Αναδρομικός ορισμός ορίζουσας.
4η Εβδομάδα
mate
Παρασκευή 23/10/2015
Παραδείγματα υπολογισμού αντίστροφου πίνακα. Ορίζουσες ως συναρτήσεις από το σύνολο των πινάκων στο $\mathbb{R}$. Τι ζητούμε από μια συνάρτηση ορίζουσας. Μεταθέσεις ιδιότητες και σύνθεση. Κάθε μετάθεση γράφεται ως γινόμενο αντιμεταθέσεων.
Ένας πίνακας είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν η ορίζουσα του είναι $\neq 0$.
Τετάρτη 21/10/2015
Παραδείγματα επίλυσης συστήματος. Ομογενή συστήματα, και ιδιότητες λύσεων τους. Ανηγμένος κλιμακωτός πίνακας. Συνθήκες ώστε το ομογενές σύστημα να έχει άπειρες λύσεις.
Ισοδύναμες συνθήκες ώστε ένα ομογενές σύστημα να έχει μοναδική λύση. Υπολογισμός αντίστροφου πίνακα. Παραδείγματα.
Δευτέρα 19/10/2015
Εύρεση των πινάκων πολλαπλασιασμού που δίνουν τους στοιχειώδεις μετασχηματισμούς γραμμών. Κλιμακωτή μορφή πίνακα. Παραδείγματα απαλοιφής Gauss.
3η Εβδομάδα
Δευτέρα 12/10/2015
Εισαγωγή στα γραμμικά συστήματα. Επαυξημένος πίνακας, στοιχειώδεις μετασχηματισμοί γραμμών. Οι στοιχειώδεις μετασχηματισμοί γραμμών προκύπτουν με πολλαπλασιασμό από αριστερά με κατάλληλους αντιστρέψιμους πίνακες.
2η Εβδομάδα
Παρασκευή 9/10/2015
Απόδειξη ότι οι $n \times n$ πίνακες $A$, ώστε $Α\cdot B =B \cdot A$ για κάθε $n\times n$ πίνακα $B$,είναι αυτοί της μορφής $A= \lambda \mathbb{I}_n$.
Απόδειξη ιδιοτήτων πολλαπλασιασμού. Ο αντίστροφος πίνακας και η μοναδικότητά του στην περίπτωση που υπάρχει.
Παραδείγματα.
Τετάρτη 7/10/2015
Πολλαπλασιαμός πινάκων, και το σύστημα $Ax=b$. Παραδείγματα. Οι πίνακες $E_{ab}$. Το γινόμενο διαγωνίων πινάκων είναι διαγώνιος. Το γινόμενο άνω (κάτω) τριγωνικών πινάκων είναι άνω (κάτω) τριγωνικός πίνακας.
Δευτέρα 5/10/2015
Πίνακες. Τετραγωνικοί άνω και κάτω τριγωνικοί, διαγώνιοι. Συμμετρικοί και αντισυμμετρικοί πίνακες. Ισότητα πινάκων. Πρόσθεση πινάκων βαθμωτός πολλ/σμός και ιδιότητες.
Παραδείγματα πολ/σμού πινάκων.
1η Εβδομάδα
Παρασκευή 2/10/2015
Η συνάρτηση ως σχέση. Ισότητα συναρτήσεων, πεδίο ορισμού, σύνολο τιμών. Συναρτήσεις 1-1 και επί, αντιστρέψιμες συναρτήσεις. Γράφημα συνάρτησης, ευθεία και αντίστροφη εικόνα.
Άσκηση: Μια συνάρτηση $f:A \rightarrow A$, όπου $A$ είναι πεπερασμένο σύνολο είναι 1-1 αν και μόνο αν είναι επί.
Σύνθεση συναρτήσεων, αντίστροφη σύνθεσης αν υπάρχει $(f \circ g)^{-1}=g^{-1} \circ f^{-1}$.
Η μέθοδος της επαγωγής παραδείγματα
Τετάρτη 30/09/2015
Στοιχεία από την θεωρία Συνόλων, ένωση, τομή συμπλήρωμα και διαφορά συνόλων. Καρτεσιανό Γινόμενο. Σχέσεις ως υποσύνολα του καρτεσιανού γινομένου. Σχέσεις Ισοδυναμίας, παραδείγματα. Κλάσεις ισοδυναμίας, η διαμέριση ενός συνόλου σε κλάσεις ισοδυναμίας, το σύνολο πηλίκο.