Page Menu

Contact

Office: 201
Email
Phone Number:
210 7276509
Address: Department of Mathematics
National and Kapodistrian University of Athens
Panepistimioupolis,
GR-157 84, Athens Greece

Links:

• Mathscinet
• Zentralblatt
• Computer Science Bibliography
• Google Scholar
• arXiv
• Microsoft Academic Search
• Personal Photos
• My Photos on Flickr

Γραμμική Άλγεβρα Ι

---

Χωροχρονικές συντεταγμένες: (για τα ψηφία 0,1,2)

Αίθουσα Γ32 Δευτέρα-Τετάρτη-Παρασκευή 11:00-13:00

---

Σύνδεσμοι

E-class. Στον σύνδεσμο (ηλεκτονική τάξη) αναζητήστε το διδακτικό βιβλίο, ασκήσεις κτλ.

Ένα χρήσιμο βιβλίο Γραμμικής Άλγεβρας (το οποίο διδάσκονταν στο Πανεπιστήμιο Κρήτης όταν ήμουν προπτυχιακός φοιτητής).

On-Line μαθήματα Γραμμικής Άλγεβρας από τον καθ. Gilbert Strang του ΜΙΤ.

---

Ασκήσεις

Από την ιστοσελίδα του καθ. Χρήστου Αθανασιάδη. Κατεβάστε το αρχείο. Οι ασκήσεις (1-23) αντιστοιχούν στην ύλη που έχει διδαχτεί μέχρι τις 15/1/2014. Μπορείτε να παραδώσετε όσες από αυτές θέλετε εργαζόμενοι σε ομάδες ή μόνοι σας.

29/1/2014. Το πλήθος των ασκήσεων που μπορείτε να παραδώσετε είναι μεγαλύτερο αφού έχουμε προχωρήσει.

---

Τυπογραφικά λάθη βιβλίου

σελ. 177, γραμμή 7 από το τέλος: τα $a_1,\ldots,a_n$ πρέπει να γίνουν $v_1,\ldots,v_n$.

---

Ημερολόγιο Μαθήματος

13η εβδομάδα

Παρασκευή 28/3/2014

Επίλυση Ασκήσεων

Τετάρτη 26/3/2014

Επίλυση Ασκήσεων

Δευτέρα 24/3/2014

Επίλυση Ασκήσεων

---

12η εβδομάδα

Παρασκευή 21/3/2014

Το σύστημα $Ax=b$ έχει λύση αν και μόνο αν η τάξη του πίνακα $A$ ταυτίζεται με την τάξη του επαυξημένου. Σύστημα με $m$ το πλήθος αγνώστους έχει μοναδική λύση αν επιπλέον η τάξη είναι ίση με το $m$. Η σχέση μεταξύ των λύσεων του ομογενούς και μη ομογενούς συστήματος. Λύση ασκήσεων.

Τετάρτη 19/3/2014

Απόδειξη της ταυτότητας $\det(AB)=\det(A)\det(B)$. Απόδειξη ότι $\det(A^t)=\det(A)$. Οι αντιστρέψιμοι πίνακες είναι πυκνοί στο σύνολο των πινάκων. Ασκήσεις.

Δευτέρα 17/3/2014

Η τάξη ενός πίνακα $r(A)$. Η τάξη του γινομένου πινάκων. Πότε $r(AB)=r(B)$ ή $r(AB)=r(A)$. Τάξη αντιστρέψιμου πίνακα. Τάξη και ανάστροφος πίνακας. Η τάξη γραμμών είναι ίση με την τάξη στηλών.

---

11η εβδομάδα

Παρασκευή 14/3/2014

Ο πίνακας αλλαγής βάσης. Ο πίνακας γραμμικής συνάρτησης ως προς δύο διαφορετικές βάσεις. Ισοδυναμία πινάκων. Κάθε πίνακας είναι ισοδύναμος με ένα πίνακα ο οποίος στην πάνω αριστερή γωνία έχει ένα $r\times r$ μπλόκ μοναδιαίο πίνακα και σε όλες τις άλλες θέσεις έχει μηδενικά.

Πέμπτη 13/3/2014

Λύση ασκήσεων.

Τετάρτη 12/3/2014

Παραδείγματα πίνακα γραμμικής συνάρτησης. Οι ισομορφισμοί αντιστοιχούν σε αντιστρέψιμους πίνακες. Ο πίνακας του εγκλεισμού υπόχωρου $V_0 \hookrightarrow V$ και του επιμορφισμού $V \rightarrow V/V_0$.

Δευτέρα 10/3/2014

Ο πίνακας $[f,B,B']$ μιας γραμμικής συνάρτησης $f:V\rightarrow W$, όπου $B,B'$ είναι διατεταγμένες βάσεις των $V,W$. Παραδείγματα πινάκων γραμμικών συναρτήσεων. Η ταυτότητα $[f(v)]_{B'}=[f,B,B'][v]_B$.

Ο ισομορφισμός $\mathcal{V,W}\cong \mathbb{F}^{m,n}$, όπου $n=\dim V$ και $m=\dim W$.
Η πράξη της σύνθεσης ανάμεσα στους χώρους

$$\mathcal{L}(V,W)\times \mathcal{L}(W,U) \rightarrow \mathcal{L}(V,U)$$ $$f,g \mapsto g \circ f$$

αντιστοιχεί στον πολλαπλασιασμό πινάκων.

---

10η εβδομάδα

Παρασκευή 7/3/2014

Επίλυση Ασκήσεων

Πέμπτη 6/3/2014

Επίλυση Ασκήσεων

Τετάρτη 5/3/2014

Η συνάρτηση $\pi:V \mapsto V/A$ είναι επιμορφισμός. Ο ισομορφισμός $V/\mathrm{ker}f \rightarrow \mathrm{Im}(f)$ είναι ισομορφισμός.

Ο διανυσματικός χώρος των γραμμικών συναρτήσεων $\mathcal{L}(V,W)$. Ο ισομορφισμός $\mathcal{L}(V,W)\cong W^{\mathrm{dim} V}$. Η δομή άλγεβρας στον χώρο $\mathcal{L}(V,V)$. Ο δυικός χώρος και η διάστασή του.

---

9η εβδομάδα

Παρασκευή 28/2/2014

Για κάθε επιλογή γραμμικά ανεξάρτητων στοιχείων $v_1,\ldots,v_n$ σε ένα διανυσματικό χώρο $V$ και κάθε επιλογή στοιχείων $w_1,\ldots,w_n$ σε διανυσματικό χώρο $W$, υπάρχει γραμμική συνάρτηση $f:V \rightarrow W$ με $f(v_i)=w_i$.

Παραδείγματα εύρεσης πυρήνα και εικόνας για γραμμικές συναρτήσεις.

Ο τύπος διάστασης

$$\dim V= \dim \mathrm{ker} f + \dim \mathrm{Im}f$$

για γραμμικές συναρτήσεις $f:V \rightarrow W$. Μία συνάρτηση $f:V \rightarrow W$ με $\dim(V)=\dim(W)$ είναι μονομορφισμός αν και μόνο αν είναι επιμορφισμός.

Τέταρτη 26/2/2014

Οι γραμμικές απεικονίσεις στέλνουν γραμμικά εξαρτημένα διανύσματα σε γραμμικά εξαρτημένα. Οι μονομορφισμοί στέλνουν γραμμικά ανεξάρτητα σε γραμμικά ανεξάρτητα. Διανύσματα που παράγουν την αφετηρία έχουν εικόνες μέσω επιμορφιμού που παράγουν τον χώρο άφιξης.

Δυο διανυσματικοί χώροι πεπεραμένης διάστασης είναι ισόμορφοι αν και μόνο αν έχουν την ίδια διάσταση $n$ οπότε είναι ισόμορφοι με τον $\mathbb{R}^n$.

Πυρήνας και εικόνα γραμμικής συνάρτησης. Μία γραμμική συνάρτηση είναι μονομορφισμός αν και μόνο αν έχει μηδενικό πυρήνα. Η εικόνα γραμμικού μετασχηματισμού της μορφής

$$\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$$ $$x \mapsto Ax,$$

όπου ο $Α$ είναι $m\times n$ πίνακας ταυτίζεται με τον χώρο στηλών του πίνακα $A$. Μέθοδοι εύρεσης πυρήνα και εικόνας.

Δευτέρα 24/2/2014

Εισαγωγή στις Γραμμικές Συναρτήσεις, παραδείγματα. Μονομορφισμός, επιμορφισμός, ισομορφισμός, παρδείγματα. Μια γραμμική συνάρτηση είναι γνωστή αν γνωρίζουμε την τιμή της στην βάση.

---

8η εβδομάδα

Παρασκευή 21/2/2014

Ασκήσεις πάνω στην συμπληρώματα βάσεων, στα αθροίσματα. Εύρεση βάσης του χώρου πηλίκου.

Τετάρτη 19/2/2014

Ιδιότητες Βάσεων. Κριτήρια βάσης. Η διάσταση του αθροίσματος

$$\dim(A+B)=\dim(A)+ \dim(B) -\dim(A\cap B).$$

και του πηλίκου

$$\dim(V/A)=\dim(V)-\dim(A)$$

Το λήμμα της εναλλαγής.

Δευτέρα 17/2/2014

Σε χώρο $\langle u_1,\ldots,u_\mu \rangle$ που παράγεται από $\mu$ το πλήθος διανύσματα μπορούμε να βρούμε το πολύ $\mu$ γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα. Θεώρημα υπάρξης βάσης. Όλες οι βάσεις έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων. Παραδείγματα.

---

7η εβδομάδα

Παρασκεύη 14/2/2014

Απόδειξη ότι αν σε σύνολο $\{v_1,\ldots,v_k\}$ από γραμμικά εξαρτημένα διανύσματα προσθέσουμε και άλλα θα πάρουμε γραμμικά εξαρτημένα διανύσματα. Απόδειξη ότι αν από σύνολο $\{v_1,\ldots,v_k\}$ από γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα αφαιρέσουμε κάποια θα πάρουμε ανεξάρτητα διανύσματα.

Βάση διανυσματικού χώστου, παραδείγματα.

Δεδομένων $k$ το πλήθος διανυσμάτων $\{v_1,\ldots,v_k\}$ του $\mathbb{R}^n$, μέθοδος για την εύρεση μιας βάσης του χώρου $\langle v_1,\ldots,v_k \rangle$.

Τετάρτη 12/2/2014

Γραμμική εξάρτηση και ανεξαρτησία. Παραδείγματα. Το ομογενές σύστημα $Ax=0$ έχει μοναδική λύση αν και μόνο αν οι στήλες είναι γραμμικά ανεξάρτητες. Παραδείγματα. Κριτήρια γραμμικής ανεξαρτησίας διανυσμάτων.

Δευτέρα 10/2/2014

Γραμμικοί συνδιασμοί διανυσμάτων. Ο χώρος $\langle v_1,\ldots,v_k \rangle$ που παράγουν τα διανύσματα $v_i$, $1\leq i \leq k$ μέσα σε ένα διανυσματικό χώρο. Παραδείγματα. Το σύστημα $Ax=b$ έχει λύση αν και μόνο αν το $b$ ανήκει στον χώρο που παράγουν οι στήλες.

---

6η εβδομάδα

Παρασκευή 7/2/2014

Συνέχεια της κατασκευής του διανυσματικού χώρου $V/A$. Λύση ασκήσεων πάνω στους υπόχωρους και τα αθροίσματα υπόχωρων.

Τετάρτη 5/2/2014

Η τομή διανυσματικών χώρων είναι διανυσματικός χώρος. Η ένωση διανυσματικών χώρων είναι διανυσματικός χώρος μόνο αν ο ένας περιέχεται στον άλλο. Άθροισμα και ευθύ άθροισμα διανυσματικών χώρων. Παραδείγματα. Ένα άθροισμα $Α + Β$ είναι ευθύ αν και μόνο αν κάθε στοιχείο του $x \in A+B$ γράφεται με μοναδικό τρόπο ως άθροισμα $x=a+b$, με $a\in A$, $b\in B$

Ο διανυσματικός χώρος πηλίκο $V/A$ για $Α$ υπόχωρο του $V$. Ορισμός των κλάσεων ισοδυναμίας $x+A$ και πράξεις μεταξύ αυτών. Παραδείγματα.

Δευτέρα 3/2/2014 rvm use 1.8.7 Ορισμός του διανυσματικού χώρου. Ιδιότητες. Η έννοια του υπόχωρου. Το κριτήριο της κλειστότητας των πράξεων. Παραδείγματα διανυσματικών χώρων.

---

5η εβδομάδα

Παρασκευή 31/1/2014

Προσαρτημένος πίνακες. Ο τύπος

$$A \cdot \mathrm{adj} A = \mathrm{det}(A) I_n.$$

Υπολογισμός αντιστρόφου πίνακα, παραδείγματα. Η μέθοδος επίλυσης γραμμικών συστημάτων του Cramer. Επίλυση ασκήσεων και της πρόκλησης

Τετάρτη 29/1/2014

Πίνακες με δύο στήλες ίσες έχουν μηδενική ορίζουσα. Επίλυση Ασκήσεων

Δευτέρα 27/1/2014

Μεταθέσεις σε $n$-το πλήθος στοιχεία. Κάθε μετάθεση γράφεται ως γινόμενο αντιμεταθέσεων. Πλήθος του συνόλου των μεταθέσεων $S_n$. Απόδειξη του τύπου του Leibniz

$$\mathrm{det}(A)=\sum_{\sigma \in S_n} \mathrm{sgn}(\sigma) a_{1\sigma(1)} a_{2 \sigma(2)} \cdots a_{n \sigma(n)}.$$

Ειδικές περιπτώσεις του παραπάνω τύπου, ορίζουσα πίνακα $2\times 2$, $3 \times 3$, ο μνημονικός κανόνας του Sarrus. Μοναδικότητα της ορίζουσας.

Ασκήσεις.

---

4η εβδομάδα

Παρασκευή 24/1/2014

Με δεδομένο ότι υπάρχει ορίζουσα για $(n-1)\times (n-1)$ κατασκευή των συναρτήσεων $f_j =\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} D(A_{i,j})$. Απόδειξη ότι η συναρτήσεις $f_j$ ικανοποιούν τις ιδιότητες της ορίζουσας. Παραδείγματα, $2\times 2$ και $3 \times 3$ πίνακες.

Τετάρτη 22/1/2014

Διερεύνηση λύσεων συστήματος $Ax=b$ που o πίνακας $A$ έρθει σε ανηγμένη κλιμακωτή μορφή. Συναρτήσεις ορίζουσας. Συμπεριφορά ορίζουσας μετά από στοιχειώδεις μετασχηματισμούς γραμμών. Ένας πίνακας είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν η ορίζουσα του δεν είναι μηδενική.

Δευτέρα 20/1/2014

Κλιμακωτοί και κλιμακωτοί ανηγμένοι πίνακες. Οι στοιχειώδεις μετασχηματισμοί γραμμών προκύπτουν μέσω πολλαπλασιασμών κατάλληλων πινάκων. Μέθοδος εύρεσης αντιστρόφου πίνακα με την απαλλοιφή του Gauss.

---

3η εβδομάδα

Παρασκευή 17/1/2014

Η μέθοδος απαλοιφής του Gauss. Στοιχειώδης μετασχηματισμοί γραμμών. Κλιμακωτός πίνακας. Παραδείγματα.

Τετάρτη 15/1/2014

Παραδείγματα αντιστρεψίμων και μή αντιστρεψίμων πινάκων. Η σχέση $(A \cdot B)^t=B^t \cdot A^t.$ Ο αντίστροφος του αναστρόφου πίνακα. Υπολογισμός του αντιστρόφου $2 \times 2$ πίνακα:

$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1}= \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$

όταν $ad-bc\neq 0$.

Δευτέρα 13/1/2014

Ασκήσεις. Οι πίνακες που αντιμετατίθενται με κάθε πίνακα $\mathbb{F}^{n\times n}$ είναι οι $\lambda \cdot \mathrm{I}_n.$

Οι πίνακες που αντιμετατίθενται με τον πίνακα $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ είναι οι $\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a\end{pmatrix}$.

Επαγωγικός ορισμός του $A^n$ με $n\in \{0,1,2,3\ldots\}$. Οι ιδιότητες $A^nA^m=A^{n+m}$, $\left(A^n\right)^m=A^{nm}.$

Ορισμός αντιστρόφου πίνακα. Μοναδικότητα. Απόδειξη της σχέσης $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.$

---

2η εβδομάδα

Παρασκευή 10/1/2014

Περισσότερα πάνω στον πολλαπλασιασμό πινάκων. Οι πίνακες $E_{a,b}=(\delta_{a,i} \delta_{b,j}).$ Η γραφή του πίνακα $A=(a_{ij})$ ως

$$A=(a_{ij})=\sum_{i,j} a_{ij} E_{ij}.$$

Ο τύπος πολλαπλασιασμού $E_{ab}\cdot E_{cd}=\delta_{b,c} E_{a,d}.$

Παραδείγματα. Το γινόμενο διαγωνίων πινάκων είναι διαγώνιος πίνακας. Το γινόμενο άνω (κάτω) τριγωνικών είναι άνω (κάτω) τριγωνικός πίνακας.

Τετάρτη 8/1/2014

Επανάληψη πινάκων. Πρόσθεση και βαθμωτός πολλαπλασιασμός ιδιότητες. Γινόμενο πινάκων. Ιδιότητες γινομένου, μοναδιαίος πίνακας.

Δευτέρα 23/12/2013

Επανάληψη των σχέσεων ισοδυναμίας. Η μέθοδος της επαγωγής, παραδείγματα. Ορισμός των $n\times m$ πινάκων. Παραδείγματα. Τετραγωνικοί πίνακες, πρόσθεση πινάκων.

---

1η εβδομάδα

Παρασκευή 20/12/2013

Ορισμός Συνάρτησης ως σχέσεις. Ισότητα συναρτήσεων. Γράφημα συνάρτησης. Συναρτήσεις $1-1$, επί. Σύνθεση συναρτήσεων. Αντιστρέψιμες συναρτήσεις. Η αντίστροφη συνάρτηση σύνθεσης συναρτήσεων, $(f \circ g)^{-1}= g^{-1}\circ f^{-1}$.

Τετάρτη 18/12/2013

Στοιχεία από την θεωρία Συνόλων, ένωση, τομή συμπλήρωμα και διαφορά συνόλων. Καρτεσιανό Γινόμενο. Σχέσεις ως υποσύνολα του καρτεσιανού γινομένου. Σχέσεις Ισοδυναμίας, παραδείγματα. Κλάσεις ισοδυναμίας, η διαμέριση ενός συνόλου σε κλάσεις ισοδυναμίας, το σύνολο πηλίκο.