Άλγεβρα - Γεωμετρία

Εαρινό Εξάμηνο 2009
Α.Κοντογεώργης
Ώρες μαθήματος: Πέμπτη 10:00-13:00

Γραφείο Διδάσκοντα: Ηγεμονείο τηλ. 22730-82122

Περιγραφή Μαθήματος: Σκοπός του μαθήματος είναι να εισαγάγει βασικά αλγεβρικά εργαλεία σε μεταπτυχιακούς φοιτητές του τμήματος και να δωθούν εφαρμογές στην κρυπτογραφία

Ύλη Μαθήματος
Άλγεβρα Βιβλίο John Fraleigh Εισαγωγή στην Άλγεβρα. Γενικές εισαγωγικές έννοιες, όπως Ομάδα, δακτύλιος, σώμα, ιδεώδες, χαρακτηριστική, πολυωνυμικός δακτύλιος, ομομορφισμός ομάδων, δακτυλίων, σωμάτων και θεωρήματα ισομορφισμών.
Αλγεβρικές επεκτάσεις παρ. 7.4 σελ. 447-452 Πεπερασμένα σώματα παρ. 7.6 Σελ. 469-475. Να γνωρίζουμε τις λύσεις των ασκήσεων 1-15.
Θεωρία αριθμών:
Η αριθμητική modn. O αλγόριθμός του ευκλείδη, ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, μέγιστός κοινός διαρέτης.
Υπολογισμός αριθμού σε δύναμη modulo m
Κρυπτογραφία:
Το σύστημα RSA, ανταλλαγή κλειδιών Diffie-Hellman. Το πρόβλημα του διακριτού λογαρίθμου.

Παραγοντοποίηση αριθμού όταν οι πρώτοι παραράγοντες είναι κοντά μεταξύ τους. Η μέθοδος παραγοντοποίησης του Pollard.

Ελλειπτικές καμπύλες. Ορισμός, η δομή ομάδας, πράξη μεταξύ σημείων της ελλειπτικής καμπύλης.

Ελλειπτικές καμπύλες πάνω από το σώμα των ρητών αριθμών. Διατύπωση του θεωρήματος του Mordell.

Ο αλγόριθμός του Lenstra για παραγοντοποίηση αριθμών. Το πρωτότυπο είναι εδώ:

Το πρόβλημα του διακριτού λογαρίθμου σε ελλειπτικές καμπύλες. Η μέθοδος El Gamal.

Το σύμβολο του Jacobi και ο έλεγχος των Euler ψευδοπρώτων. Τύπος πλήθους σημείων Ελλειπτικής καμπύλης βασισμένος στα σύμβολα του Jacobi

Το θεώρημα του Κινέζου. Η μέθοδος του Schoof για την εύρεση του πλήθους των σημείων ελλειπτικών καμπυλών ορισμένων στο F_q. Κατανοητό άρθρο σχετικά εδώ .


Βιβλία για Ελλειπτικές καμπύλες υπάρχουν αρκετά. Πιο κοντά στο επίπεδο του μαθήματος είναι το βιβλίο του W.Stein με τίτλο Elementary Number Theory: Primes, Congruences, and Secrets. Ενδεικτικά αναφέρω ότι οι φοιτητές θα πρέπει να γνωρίζουν την ύλη όλων των κεφαλαίων του παραπάνω βιβλίου εκτός από τα κεφάλαια 4 και 5.

Διαλέξεις του ιδίου βασισμένες πάνω σε αυτό το βιβλίο είναι διαθέσιμες.
Ένα αρκετά πιό προχωρημένο βιβλίο αλλά ελεύθερο στο δίκτυο είναι το βιβλίο του J. Milne θα το βρείτε εδώ
Ενώ βιβλία στα Ελληνικά είναι τo βιβλίο του Γ. Αντωνιάδη που είναι εδώ .
Ρίξτε μία ματιά και εδώ:The State of Elliptic Curve Cryptography