next up previous
Next: About this document ...

Εισαγωγή

Σε αυτή την εργασία προσπαθούμε να εισάγουμε τον αναγνώστη στην σειρά των εργασιών που έγιναν, κυρίως την τελευταία δεκαετία, προς την κατεύθηνση απόδειξης του τελευταίου θεωρήματος του Fermat. Το πρόβλημα αύτο τέθηκε από τον Pierre de Fermat (1601-1665), ο οποίος διατύπωσε την εικασία ότι είναι αδύνατο να διασπάσθει μιά δύναμη μεγαλύτερη του 2 σε άθροισμα δύο ιδίων δυνάμεων, δηλαδή ότι η εξίσωση:

\begin{displaymath}x^n+y^n=z^n,\;\;\; (n \in \Nat, \;n\geq 3)\end{displaymath}

δεν έχει μη τετριμμένες ακέραιες λύσεις. Το πρόβλημα αυτό βασάνισε τους μαθηματικούς γιά περισσότερα από 350 χρόνια μέχρι την λύση του, που δόθηκε πρόσφατα. Ο ίδιος ο Fermat ισχυρίσθηκε ότι γνωρίζει μία θαυμάσια απόδειξη, η οποία όμως δεν χωρούσε στο περιθώριο του βιβλίου "Αριθμητικά", έργου του Ελληνα μαθηματικού Διόφαντου, το όποιο μελετούσε. Ο ίδιος και ο Euler έδωσαν αποδείξεις γιά n=3,4 ενώ ο Dirichlet και ο Legendre απόδειξαν τις περιπτώσεις n=5,14. Στην προσπάθεια τους να δώσουν γενική απάντηση πολλοί, μεταξύ των οποίων και ο Cauchy, υπέθεσαν τo μονοσήμαντο της ανάλυσης ακεραίων αλγεβρικών αριθμών κυκλοτομικών σωμάτων σε γινόμενο αναγώγων στοιχείων, λάθος το οποίο οδήγησε όμως στην δημιουργία και ανάπτυξη της σύγχρονης Αλγεβρικής Θεωρίας των Αριθμών. Είναι μάλιστα πολύ πιθανόν και ο ίδιος ο Fermat να είχε κάνει την ίδια παραδοχή στην "θαυμάσια" αποδειξή του. Ο Kummer συνειδητοποίησε αυτό το πρόβλημα, και ανέπτυξε κατάλληλη θεωρία μέσω της οποίας κατάφερε να αποδείξει την εικασία του Fermat γιά όλους τους πρώτους $p\neq2$, $p\leq 100$, εκτός των περιπτώσεων $p\neq 37,59,67$. Από την άλλη ο Vandiver στην δεκαετία του 20 ανέπτυξε υπολογιστικές μεθόδους ελέγχου της εικασίας, οι οποίες επέτρεψαν τον έλεγχο γιά μεγάλα n. Σχετικά πρόσφατα (1983) ο Faltings απέδειξε την εικασία του Mordell, η οποία έχει σαν πόρισμα την ύπαρξη, γιά δοσμένο φυσικό n>3, το πολύ πεπερασμένων ακεραίων λύσεων της εξίσωσης του Fermat, εργασία που απέδειξε την δυναμική των μεθόδων της Αλγεβρικής Γεωμετρίας στην επίλυση διοφαντικών προβλημάτων. Τέλος ο Frey (1987), είχε την ιδέα να χρησιμοποιήσει το γεγονός ότι η θεωρία των ελλειπτικών καμπύλων είναι φυσιολογική γενίκευση της αντίστοιχης των κυκλοτομικών σωμάτων και να χαράξει την πορεία προς την λύση του προβλήματος, συνδέοντας το με την σημαντικότατη εικασία των Taniyama-Shimura. Στην κατεύθυνση αυτή εργάστηκαν στην συνέχεια οι Serre, Ribet και Wiles ώσπου τελικά (Οκτώβριος 1994) η απόδειξη της εικασίας είναι γεγονός. Πυρήνας της εργασίας είναι το άρθρο του Frey [Fr], αλλά θα χρειαστεί να αναπτύξουμε πρώτα τα εργαλεία τα οποία θα χρησιμοποιήσουμε στην συνέχεια. Καταβάλλαμε ιδιαίτερη προσπάθεια ώστε να συμπεριλάβουμε όσο το δυνατόν περισσότερα από αυτά, αν και ο αναγνώστης, γιά την κατανόηση του περιεχομένου, θα πρέπει να είναι εξοικειωμένος τουλάχιστο με την Αλγεβρική Θεωρία των Αριθμών.

Συγκεκριμένα η κατανομή των κεφαλαίων έχει ως εξής: Μετά από μιά σύντομη ιστορική αναδρομή, εισάγουμε τον αναγνώστη σε βασικές έννοιες των επιφανειών Riemann και των συναρτήσεων τους, ενώ στην συνέχεια αναφέρουμε αποτελέσματα που αφορούν προβολικές αλγεβρικές καμπύλες πάνω από οποιοδήποτε σώμα. Στο δεύτερο κεφάλαιο αναφέρουμε στοιχεία από την κλασική θεωρία των ελλειπτικών καμπύλων ενώ στο τρίτο ορίζουμε την έννοια της L-σειράς ελλειπτικής καμπύλης, και αποδεικνύουμε την εικασία του Riemann γιά αυτές. Στο ίδιο κεφάλαιο ορίζουμε μιά ειδική "κατηγορία" πηλικοεπιφανειών Riemann τις X0(N) καθώς και την θεωρία συναρτήσεων και μορφών τους. Τέλος παρουσιάζουμε τους χώρους Hecke, και ορίζουμε τις L-σειρές των ιδιοσυναρτήσεων τους. Η εικασία των Taniyama-Shimura εμφανίζεται φυσιολογικά ως ο συνδετικός κρίκος, μεταξύ L-σειρών ελλειπτικών καμπύλων και Hecke ιδιομορφών. Στο τέταρτο κεφάλαιο, αφού μεταφέρουμε κατάλληλα την θεωρία παραμέτρισης του Weierstrass σε τοπικά σώματα αριθμών, περιγράφουμε την ιδιοφυή ιδέα του Frey, καθώς και μικρό μέρος από την δουλειά του Serre. Τέλος αναφέρουμε χωρίς αποδείξεις τα θεωρήματα των Ribet και Wiles και αποδεικνύουμε την αλήθεια του θεωρήματος του Fermat. Ακολουθεί μικρό παράρτημα το οποίο έχει σκοπό να εισάγει τον γνώστη της "κλασικής" θεωρίας του Galois στην θεωρία Galois των απείρων επεκτάσεων, γνώση απαραίτητη γιά την κατανόηση της δουλειάς του Serre.

Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον δάσκαλο μου, Καθηγητή Γιάννη Α. Αντωνιάδη γιά την δυνατότητα που μου έδωσε, να γνωρίσω μερικά πολύ όμορφα μαθηματικά. Επιπλέον χωρίς την συνεχή βοήθεια του σε επιστημονικά μα και σε προσωπικά προβλήματα, η εργασία μου αυτή θα ήταν αδύνατο να περατωθεί.

Ηράκλειο 11.1.1995,

Α.Ι. Κοντογεώργης


Το πλήρες κείμενο της εργασίας σε pdf.

 

root
1999-05-15