Αλγεβρική Θεωρία αριθμών

Περιεχόμενο του μαθήματος

Η αλγεβρική θεωρία αριθμών είναι ένας κύριος κλάδος της θεωρίας αριθμών που μελετά δομές σχετικά με τους ακέραιους αλγεβρικούς αριθμούς. Οι ακέραιοι αλγεβρικοί αριθμοί είναι για ένα σώμα αριθμών ότι είναι οι συνηθισμένοι ακέραιοι για το σώμα των ρητών αριθμών. Πολλές ιδιότητες που θεωρούμε δεδομένες για τους συνηθισμένους ακέραιους δεν ισχύουν για τους ακέραιους αλγεβρικούς, όπως η μοναδική παραγοντοποίηση. Τα εργαλεία που θα χρησιμοποιήσουμε στο μάθημα προέρχονται από την αντιμεταθετική άλγεβρα και την θεωρία Galois ενώ χρήσιμα θα μας είναι και αναλυτικά εργαλεία όπως οι ζ-συναρτήσεις και οι $L$-σειρές.

  1. Μερικά στοιχεία αντιμεταθετικής άλγεβρας: Localization, ακέραια εξάρτηση, διακριτοί δακτύλιοι εκτίμησης, δακτύλιοι της Noether, και του Dedekind.
  2. Κλασματικά ιδεώδη και η ομάδα κλάσεων, ίχνη και νόρμες.
  3. Δακτύλιοι των ακεραίων αλγεβρικών, ιδεώδη και παραδείγματα από τετραγωνικά και κυκλοτομικά σώματα.
  4. Lattices σε πραγματικούς διανυσματικούς χώρους, το θεώρημα του Minkowski.
  5. Θεωρήματα δομής μονάδων και το πεπερασμένο του Class Number.
  6. Πλήρη σώματα, Αρχιμήδειες και μη Αρχιμήδειες εκτιμήσεις.
  7. Θεωρία του Hilbert, ομάδες αδράνειας διακλάδωσης και ανάλυσης.
  8. Ο αυτομορφισμός του Frobenious και η συνάρτηση του Artin.
  9. Moduli και Ray classes, σειρές του Dirichlet.
  10. Χαρακτήρες αβελιανών ομάδων
  11. L-σειρές και αναπαραστάσεις γινομένων
  12. Θεωρήματα πυκνότητας.

η-τάξη

Όσοι ενδιαφέρονται ας γραφτούν στην η-τάξη ώστε να λαμβάνουν τις ανακοινώσεις του μαθήματος.

Βιβλία:

  1. Algebraic Number Theory and Fermat’s Last Theorem: Third Edition Εισαγωγικό Βιβλίο, προπτυχιακού επιπέδου. H τρίτη έκδοση περιγράφει και τα εργαλεία που οδήγησαν στην απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Fermat.

  2. D. Marcus Number Field Springer (1977) Πολλές ενδιαφέρουσες ασκήσεις.

  3. G. Janusz Algebraic Number Fields (Graduate Studies in Mathematics, V. 7) (2nd ed) Παράλληλα με την θεωρία των αλγεβρικών σωμάτων αριθμών περιέχει και εισαγωγικά στοιχεία για L-σειρές και θεωρία κλάσεων σωμάτων. Μεταπτυχιακού επιπέδου.

  4. Juergen Neukirch Algebraic Number Theory (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften) (v. 322) by J?rgen Neukirch and Norbert Schappacher (Jun 22, 1999) Περιεκτικό βιβλίο μεταπτυχιακού επιπέδου. Κάνει χρήση της θεωρίας των σχημάτων σε σώματα αριθμών.

  5. Dino Lorenzini, An Invitation to Arithmetic Geometry (Graduate Studies in Mathematics, Vol 9) GSM/9 Καταπληκτικό βιβλίο που αναπτύσει την θεωρία των αλγεβρικών σωμάτων αριθμών παράλληλα με αυτή των αλγεβρικών καμπυλών. Παράλληλα δίνει γεωμετρικές ερμηνείες σε έννοιες των σωμάτων αριθμών. Σίγουρα ευκολότερο από το βιβλίο του Neukirch.

  6. William Stein, Algebraic Number Theory, a Computational Approach. Βιβλίο με παραδείγματα μέσω του προγράμματος Sage.

  7. Διδακτικές σημειώσεις J. Milne

  8. Διδακτικές σημειώσεις Γ. Αντωνιάδη

Χωροχρονικές συντεταγμένες:

Τετάρτη-Παρασκευή 9:00-11:00 A31

#Σύνδεσμοι

Ημερολόγιο Μαθήματος

#5η εβδομάδα

Παρασκευή 27 Μαρτίου 2015

Νόρμα ιδεώδους $N(A)=# O_K/A$. Το θεώρημα υπολοίπων του κινέζου. Απόδειξη της ιδιότητας $N(AB)=N(A)N(B)$.

Νόρμα κυρίων ιδεωδών και προετοιμασία για την απόδειξη του πεπερασμένου της ομάδας κλάσεων.

#4η εβδομάδα

Παρασκευή 20 Μαρτίου 2015

Τετάρτη 18 Μαρτίου 2015

#3η εβδομάδα

Παρασκευή 13 Μαρτίου 2015

Τετάρτη 11 Μαρτίου 2015

Σύνεχεια της απόδειξης της ισοδυναμίας του ορισμού των Δακτυλίων Dedekind.

Η ομάδα των κλασματικών ιδεωδών ως η ελεύθερη αβελιανή ομάδα που παράγεται από τα πρώτα ιδεώδη.

Δακτύλιοι Dedekind και επεκτάσεις, η συνθήκη της πεπερασμένης norm.

#2η εβδομάδα

Παρασκευή 6 Μαρτίου 2015

Ορισμός της ακεραίας εξάρτησης. Ακεραία θήκη, ακέραιοι αλγεβρικοί. Κριτήρια για να είναι το $x$ ακέραιο βασισμένα σε πεπερασμένα παραγόμενα modules.

Ένας δακτύλιος είναι Dedekind αν και μόνο αν

  1. Είναι Noether
  2. Kάθε μή μηδενικό πρώτο ιδεώδες είναι μέγιστο.
  3. Είναι ακέραια κλειστός.

Τετάρτη 4 Μαρτίου 2015

Ορισμός module της Noether. Modules της Noether και μικρές ακριβείς ακολουθίες.

Reciprocal \(A^*\) ιδεώδους $A$. Απόδειξη ότι αν ένα ιδεώδες είναι αντιστεψιμο $A^{-1}=A^*$. Δακτύλιοι του Dedekind είναι της Noether και τα (μη μηδενικά) πρώτα είναι μέγιστα.

#1η εβδομάδα

Παρασκευή 27 Φεβρουαρίου 2015

Στοιχεία θεωρίας Galois. Συζυγείς εμφυτεύσεις. Δακτύλιοι της Noether. Αντιστρέψιμα κλασματικά ιδεώδη. Η συνθήκη Dedekind ως συνθήκη αντιστρεψιμότητας ιδεωδών.

Τετάρτη 25 Φεβρουαρίου 2015

Εισαγωγή στην αλγεβρική θεωρία αριθμών. Ιδεώδη σε αντιμεταθετικούς δακτυλίους. Ορισμός της διαίρεσης ιδεωδών: \(A \mid B \Leftrightarrow A \supset B.\)

Μέγιστος κοινός διαιρέτης $Α \cap B$ και ελάχιστο κοινό πολλάπλάσιο $A+B$ ιδεωδών.

Ο χώρος $\mathrm{Spec}(R)$ των πρώτων ιδεωδών ως ένα γεωμετρικό αντικείμενο με δακτύλιο συναρτήσεων $R$.