Ξ˜Ξ΅Ο‰ΟΞ―Ξ± Ξ‘ΟΞΉΞΈΞΌΟŽΞ½

Ξ— θΡωρία των αριθμών Ρίναι Ξ­Ξ½Ξ±Ο‚ κλάδος των ΞΌΞ±ΞΈΞ·ΞΌΞ±Ο„ΞΉΞΊΟŽΞ½ αφιΡρωμένος στην μΡλέτη των ακΡραίων ΞΊΞ±ΞΉ ΟΞ·Ο„ΟŽΞ½ αριθμών. Οι μέθοδοι της θΡωρίας αριθμών διακρίνονται Ξ³ΞΉΞ± την ποικιλία τους Ρνώ τα αποτΡλέσματα Ξ³ΞΉΞ± την ΞΊΞΏΞΌΟˆΟŒΟ„Ξ·Ο„Ξ¬ τους ΟŽΟƒΟ„Ξ΅ Ξ· θΡωρία των αριθμών Ξ½Ξ± αποκαλοίται β€œΞ· βασίλισα των ΞœΞ±ΞΈΞ·ΞΌΞ±Ο„ΞΉΞΊΟŽΞ½β€.

Ξ£Ο„ΟŒΟ‡ΞΏΞΉ του ΜαθΞ�ματος

Για χάρη της Ξ±Ο€ΟŒΞ΄Ξ΅ΞΉΞΎΞ·Ο‚ θΡωρημάτων της θΡωρίας αριθμών αναπτύχθηκαν ολόκληροι κλάδοι της άλγΡβρας της ανάλυσης ΞΊΞ±ΞΉ της γΡωμΡτρίας. Στο μάθημα Ξ±Ο…Ο„ΟŒ ΟŒΞΌΟ‰Ο‚ ΞΏΞΉ αποδΡίξΡις ΞΈΞ± χρησιμοποιούν ΟŒΟƒΞΏ το Ξ΄Ο…Ξ½Ξ±Ο„ΟŒΞ½ Ξ»ΞΉΞ³ΟŒΟ„Ξ΅ΟΞ± ΡργαλΡία Ξ±Ο€ΟŒ άλλους κλάδους των ΞΌΞ±ΞΈΞ·ΞΌΞ±Ο„ΞΉΞΊΟŽΞ½, ΟŽΟƒΟ„Ξ΅ το μάθημα Ξ½Ξ± Ρίναι Ξ²Ξ±Ο„ΟŒ ακόμα ΞΊΞ±ΞΉ Ξ³ΞΉΞ± φοιτητές του Ο€ΟΟŽΟ„ΞΏΟ… έτους.

Ο φοιτητΞ�Ο‚ πέρα Ξ±Ο€ΟŒ ΞΌΞΉΞ± Ο€ΟΟŽΟ„Ξ· ΡπαφΞ� ΞΌΞ΅ το μάθημα Ξ±Ο…Ο„ΟŒ ΞΈΞ± έχΡι αποκτΞ�σΡι την μαθηματικΞ� Ο‰ΟΞΉΞΌΟŒΟ„Ξ·Ο„Ξ± Ξ½Ξ± προχωρΞ�σΡι σΡ βαθύτΡρΡς ΞΊΞ±ΞΉ Ο€Ξ΅ΟΞΉΟƒΟƒΟŒΟ„Ξ΅ΟΞΏ αφηρημένΡς έννοιΡς της άλγΡβρας, έχοντας αποκτΞ�σΡι ΡμπΡιρία ΞΊΞ±ΞΉ ΡυχέρΡια ΟŽΟƒΟ„Ξ΅ ΞΏΞΉ ορισμοί των αλγΡβρικών δομών Ξ½Ξ± Ρίναι Ο€Ξ΅ΟΞΉΟƒΟƒΟŒΟ„Ξ΅ΟΞΏ κατανοητοί ΞΊΞ±ΞΉ φυσιολογικοί.

Επιπλέον ΞΈΞ± μπορΡί Ξ½Ξ± χΡιρί΢Ρται ΞΌΞΉΞ± σΡιρά Ξ±Ο€ΟŒ ΡργαλΡία σχΡτικά ΞΌΞ΅ την αριθμητικΞ� την Ξ΄ΞΉΞ±ΞΉΟΞ΅Ο„ΟŒΟ„Ξ·Ο„Ξ± ΞΊΞ±ΞΉ την λύση Ξ”ΞΉΞΏΟ†Ξ±Ξ½Ο„ΞΉΞΊΟŽΞ½ προβλημάτων.

Ξ Ξ΅ΟΞΉΞ΅Ο‡ΟŒΞΌΞ΅Ξ½ΞΏ του ΞΌΞ±ΞΈΞ�ματος

1. Ξ˜Ξ΅ΞΌΞ΅Ξ»ΞΉΟŽΞ΄Ξ΅Ο‚ θΡώρημα της ΑριθμητικΞ�Ο‚.
2. Αριθμητικές συναρτΞ�σΡις.
3. ΙσοτιμίΡς-πολυωνυμικές Ξ΅ΞΎΞΉΟƒΟŽΟƒΞ΅ΞΉΟ‚ modulo p, θΡώρημα του Dirichlet (χωρίς 4. Ξ±Ο€ΟŒΞ΄Ξ΅ΞΉΞΎΞ·).
4. ΀Ρτραγωνικά Ο…Ο€ΟŒΞ»ΞΏΞΉΟ€Ξ± ΞΊΞ±ΞΉ ΞΏ Ξ½ΟŒΞΌΞΏΟ‚ αντιστροφΞ�Ο‚ του Gauss.
5. ΣτοιχΡία Ξ±Ο€ΟŒ την ΞšΟΟ…Ο€Ο„ΞΏΞ³ΟΞ±Ο†Ξ―Ξ± ΞΊΞ±ΞΉ τη θΡωρία ΞšΟ‰Ξ΄Ξ―ΞΊΟ‰Ξ½.

Βιβλία:

1. Ξ”. Ξ”Ξ΅ΟΞΉΞΆΞΉΟŽΟ„Ξ·Ο‚ Μια ΡισαγωγΞ� στην Ξ˜Ξ΅Ο‰ΟΞ―Ξ± Ξ‘ΟΞΉΞΈΞΌΟŽΞ½ Ξ•ΞΊΞ΄ΟŒΟƒΞ΅ΞΉΟ‚ Σοφία
2. Ξ . ΀σαγκάρης Ξ˜Ξ΅Ο‰ΟΞ―Ξ± Ξ‘ΟΞΉΞΈΞΌΟŽΞ½ Ξ•ΞΊΞ΄ΟŒΟƒΞ΅ΞΉΟ‚ ΣυμμΡτρία
3. Ξ“. Αντωνιάδης Ξ‘. ΞšΞΏΞ½Ο„ΞΏΞ³Ξ΅ΟŽΟΞ³Ξ·Ο‚ Ξ˜Ξ΅Ο‰ΟΞ―Ξ± Ξ‘ΟΞΉΞΈΞΌΟŽΞ½ ΞΊΞ±ΞΉ Ρφαρμογές ΞˆΞΊΞ΄ΞΏΟƒΞ· Ο…Ο€ΟŒ προΡτοιμασία, Ο€ΟΟŒΞ³ΟΞ±ΞΌΞΌΞ± ΞšΞ¬Ξ»Ξ»ΞΉΟ€ΞΏΟ‚

Ξ‘Ο€ΟŒ τα παραπάνω δύο Ο€ΟΟŽΟ„Ξ± βιβλία ΞΏΞΉ φοιτητές μπορούν Ξ½Ξ± διαλέξουν Ξ­Ξ½Ξ± το οποίο διανέμΡται δωρΡάν Ξ±Ο€ΟŒ τον Εύδοξο

Χωροχρονικές συντΡταγμένΡς: (Ξ³ΞΉΞ± τα ΟˆΞ·Ο†Ξ―Ξ± 0,1,2,3,4)

Αμφιθέατρο 24 ΀ρίτη -Πέμπτη 9:00-11:00

#ΣύνδΡσμοι

E-class ΓραφτΡίτΡ στο μάθημα ΟŽΟƒΟ„Ξ΅ Ξ½Ξ± λαμβάνΡτΡ τις ηλΡκτρονικές Ξ±Ξ½Ξ±ΞΊΞΏΞΉΞ½ΟŽΟƒΞ΅ΞΉΟ‚ του ΞΌΞ±ΞΈΞ�ματος.

ΑσκΞ�σΡις

Ξ—ΞΌΞ΅ΟΞΏΞ»ΟŒΞ³ΞΉΞΏ ΜαθΞ�ματος

#7η Ρβδομάδα

Φίλοι, τέλΡιοι αριθμοί. ΞšΟΞΉΟ„Ξ�ρια άρτιων τέλΡιων. Ξ ΟΟŽΟ„ΞΏΞΉ του Mersenne, Ο€ΟΟŽΟ„ΞΏΞΉ του Fermat.

Παραγοντοποίηση Fermat.

#6η Ρβδομάδα

Πέμπτη 26 ΞœΞ±ΟΟ„Ξ―ΞΏΟ… 2015

ΑντιστροφΞ� Moebius. Ξ— συνάρτηση $\phi(n)$ του Euler Ρίναι πολλαπλασιαστικΞ�. $n=\sum_{d \mid n } \phi(d)$ ΞΊΞ±ΞΉ $\phi(n) = n \sum_{d \mid n } \frac{\mu(d)}{d}$.

Ξ₯Ο€ΞΏΞ»ΞΏΞ³ΞΉΟƒΞΌΟŒΟ‚ του $\phi(p^a)$, ΟŒΟ€ΞΏΟ… $p$ Ο€ΟΟŽΟ„ΞΏΟ‚.

΀ρίτη 24 ΞœΞ±ΟΟ„Ξ―ΞΏΟ… 2015

ΕισαγωγΞ� στις αριθμητικές πολλαπλασιαστικές συναρτΞ�σΡις. Οι συναρτΞ�σΡις πλΞ�ΞΈΞΏΟ…Ο‚ ΞΊΞ±ΞΉ αθροίσματος Ξ΄ΞΉΞ±ΞΉΟΞ΅Ο„ΟŽΞ½. Ξ— συνάρτηση του Moebious.

#5η Ρβδομάδα

Πέμπτη 19 ΞœΞ±ΟΟ„Ξ―ΞΏΟ… 2015

Ξ Ο…ΞΈΞ±Ξ³ΟŒΟΞΉΞ΅Ο‚ τριάδΡς (γΡωμΡτρικΞ� προσέγγιση).

Εικασία του Mordell, θΡώρημα Faltings

΀ο ΀ΡλΡυταίο ΘΡώρημα του Fermat.

Video

΀ρίτη 17 ΞœΞ±ΟΟ„Ξ―ΞΏΟ… 2015

ΕισαγωγΞ� στις Διοφαντικές Ξ΅ΞΎΞΉΟƒΟŽΟƒΞ΅ΞΉΟ‚. Λύση της Ρξίσωσης $ax+bx=c$. Ξ˜Ξ΅Ο„ΞΉΞΊΞ­Ο‚ λύσΡις της παραπάνω Ρξίσωσης.

#4η Ρβδομάδα

Πέμπτη 12 ΞœΞ±ΟΟ„Ξ―ΞΏΟ… 2015

΀ο ΞΈΞ΅ΞΌΞ΅Ξ»ΞΉΟŽΞ΄Ξ΅Ο‚ θΡώρημα της αριθμητικΞ�Ο‚. Ξ₯πάρχουν άπΡιροι Ο€ΟΟŽΟ„ΞΏΞΉ της μορφΞ�Ο‚ $4l+3$.

΀ρίτη 10 ΞœΞ±ΟΟ„Ξ―ΞΏΟ… 2015

O Ξ‘Ξ»Ξ³ΟŒΟΞΉΞΈΞΌΞΏΟ‚ του ΕυκλΡίδη. ΓραφΞ� του μέγιστου κοινού διαιρέτη $(a,b)$ ως $\mathbb{Z}$-γραμμικό ΟƒΟ…Ξ½Ξ΄ΞΉΞ±ΟƒΞΌΟŒ των $a,b$.

#3η Ρβδομάδα

Πέμπτη 12 ΞœΞ±ΟΟ„Ξ―ΞΏΟ… 2015

ΞœΞ­Ξ³ΞΉΟƒΟ„ΞΏΟ‚ ΞΊΞΏΞΉΞ½ΟŒΟ‚ διαιρέτης ΞΊΞ±ΞΉ Ρλάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, ΞΉΞ΄ΞΉΟŒΟ„Ξ·Ο„Ξ΅Ο‚.

΀ρίτη 10 ΞœΞ±ΟΟ„Ξ―ΞΏΟ… 2015

΀ο θΡώρημα του Dirichlet Ξ³ΞΉΞ± αριθμητικές Ο€ΟΟŒΞΏΞ΄ΞΏΟ…Ο‚.

Ξ ΟΟŒΟƒΟ†Ξ±Ο„Ξ± αποτΡλέσματα Ξ³ΞΉΞ± τα κΡνά μΡταξύ Ο€ΟΟŽΟ„Ο‰Ξ½, το θΡώρημα των Green-Tao.

To θΡώρημα των Ο€ΟΟŽΟ„Ο‰Ξ½ αριθμών.

video

΀ύποι Ο€ΟΟŽΟ„Ο‰Ξ½ αριθμών.

#2η Ρβδομάδα

Πέμπτη 7 ΞœΞ±ΟΟ„Ξ―ΞΏΟ… 2015

΀ρΡις αποδΡίξΡις Ξ³ΞΉΞ± την απΡιρία των Ο€ΟΟŽΟ„Ο‰Ξ½ (ΕυκλΡίδη, Stieltjes, Saidak)

Ξ‘Ο€ΟŒΞ΄Ξ΅ΞΉΞΎΞ· ΟŒΟ„ΞΉ Ξ­Ξ½Ξ±Ο‚ σύνθΡτος Ξ±ΟΞΉΞΈΞΌΟŒΟ‚ $n$ έχΡι Ξ­Ξ½Ξ± τουλάχιστον Ο€ΟΟŽΟ„ΞΏ διαιρέτη $p \leq \sqrt{n}$. ΀ο ΞΊΟŒΟƒΞΊΞΉΞ½ΞΏ του Ερατοσθένη.

ΕπαγωγικΞ� Ξ±Ο€ΟŒΞ΄Ξ΅ΞΉΞΎΞ· της Ξ±Ξ½ΞΉΟƒΟŒΟ„Ξ·Ο„Ξ±Ο‚ $p_n \leq 2^{2^{n-1}}$ Ξ³ΞΉΞ± τον $n$-ΞΏΟƒΟ„ΟŒ Ο€ΟΟŽΟ„ΞΏ.

Δίδυμοι Ο€ΟΟŽΟ„ΞΏΞΉ, ΞžΞ±Ξ΄Ξ­ΟΟ†ΞΉΞ±, Sexy Ο€ΟΟŽΟ„ΞΏΞΉ.

΀ρίτη 3 ΞœΞ±ΟΟ„Ξ―ΞΏΟ… 2015

ΘΡώρημα της διαίρΡσης ΞΌΞ΅ πηλίκο ΞΊΞ±ΞΉ Ο…Ο€ΟŒΞ»ΞΏΞΉΟ€ΞΏ. ΞšΟΞΉΟ„Ξ�ρια ΟŽΟƒΟ„Ξ΅ Ξ½Ξ± Ρίναι Ξ­Ξ½Ξ±Ο‚ Ξ±ΟΞΉΞΈΞΌΟŒΟ‚ τΡτράγωνο βασισμένα στα Ο…Ο€ΟŒΞ»ΞΏΞΉΟ€Ξ± της διαίρΡσης ΞΌΞ΅ 3 ΞΊΞ±ΞΉ 4. ΞŸΟΞΉΟƒΞΌΟŒΟ‚ Ο€ΟΟŽΟ„ΞΏΟ…. Ξ‘Ο€ΟŒΞ΄Ξ΅ΞΉΞΎΞ· ΟŒΟ„ΞΉ κάθΡ Ο†Ο…ΟƒΞΉΞΊΟŒΟ‚ $n \geq 2$ έχΡι Ξ­Ξ½Ξ± τουλάχιστον Ο€ΟΟŽΟ„ΞΏ διαιρέτη.

#1η Ρβδομάδα

Πέμπτη 26 ΦΡβρουαρίου 2015

Ξ— μέθοδος της ΡπαγωγΞ�Ο‚. ΔιαίρΡση ακΡραίων αριθμών ΞΊΞ±ΞΉ ΞΉΞ΄ΞΉΟŒΟ„Ξ·Ο„Ξ΅Ο‚.