next up previous
Next: About this document ...

Ασκήσεις Θ. Αριθμών
6 Φυλλάδιο
Παράδοση Τετάρτη 11 Ιανουαρίου
  1. Αν ισχύει

    $\displaystyle ab\equiv 1 \mod m,
$

    να αποδειχτεί ότι ισχύει

    $\displaystyle \mathrm{ord}_m a=\mathrm{ord}_m b.
$

  2. Αν ισχύει

    $\displaystyle \mathrm{ord}_m a=r,$

    τότε θα ισχύει

    $\displaystyle \mathrm{ord}_m a^n =\frac{r}{(n,r)}.
$

  3. Αν για ένα πρώτο αριθμό $ p$ ισχύει

    $\displaystyle \mathrm{ord}_pa=r$    και $\displaystyle \mathrm{ord}_pb=s,
$

    και επιπλέον ισχύει $ (r,s)=1$, να αποδειχτεί ότι θα ισχύει

    $\displaystyle \mathrm{ord}_p ab=rs.
$

  4. Αν $ a$ είναι μία αρχική ρίζα modulo $ m$, τότε $ a^n$ είναι αρχική ρίζα modulo $ m$, αν ισχύει $ (n,\phi(n))=1$.
  5. Αν $ w,u$ είναι δύο αρχικές ρίζες modulo $ p$, όπου $ p$ πρώτος αριθμός, να αποδειχτεί ότι ισχύει

    $\displaystyle \mathrm{ind}_ua\equiv \mathrm{ind_w}a \cdot
\mathrm{ind}_uw \mod (p-1).
$

  6. Να αποδειχτεί ότι το πλήθος των λύσεων της ισοδυναμίας

    $\displaystyle x^2 \equiv a \mod p,
$

    όπου $ p$ περιττός πρώτος αριθμός είναι

    \begin{displaymath}
Ν=\left\{
\begin{array}{ll}
1+\left(\frac{a}{p}\right), & \mbox{αν } p\nmid a\\
1, &\mbox{αν } p \mid a.
\end{array}\right.
\end{displaymath}





Aristides Kontogeorgis 2005-12-15