\documentclass[11pt]{article}
\makeatletter
\usepackage[greek, american]{babel}
%\usepackage{textcase}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb}
\usepackage[iso-8859-7]{inputenc}
%\usepackage{kerkis}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\sg}{\selectlanguage{greek}}
\newcommand{\sa}{\selectlanguage{american}}
\newcommand{\LyX}{L\kern-.1667em\lower.25em\hbox{Y}\kern-.125emX\spacefactor1000}
%\theoremstyle{plain}
\newtheorem{thm}{Theorem}[section]
%\newtheorem{or}{Ορισμός}
\numberwithin{equation}{section} %% Comment out for sequentially-numbered
\numberwithin{figure}{section} %% Comment out for sequentially-numbered
\newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}
\makeatother


\begin{document}                    
\selectlanguage{greek}
\centerline{ \huge{Ασκήσεις Θ. Αριθμών}}
\centerline{ \large{6 Φυλλάδιο}}
\centerline{Παράδοση Τετάρτη 11  Ιανουαρίου}
\begin{enumerate}
\item 
Αν ισχύει \[
ab\equiv 1 \mod m,
\]
να αποδειχτεί ότι ισχύει 
\[
\ord_m a=\ord_m b.
\]
\item Αν ισχύει 
\[
\ord_m a=r,\]
τότε θα ισχύει 
\[
\ord_m a^n =\frac{r}{(n,r)}.
\]
\item 
Αν για ένα πρώτο αριθμό $p$ ισχύει 
\[
\ord_pa=r \mbox{ και } \ord_pb=s,
\]
και επιπλέον ισχύει $(r,s)=1$, να αποδειχτεί ότι θα 
ισχύει 
\[
\ord_p ab=rs. 
\]
\item Αν $a$ είναι μία αρχική ρίζα \textlatin{modulo} $m$, 
τότε  $a^n$ είναι αρχική ρίζα \textlatin{modulo} $m$, 
αν ισχύει $(n,\phi(n))=1$. 
\item 
Αν $w,u$ είναι δύο αρχικές ρίζες \textlatin{modulo} $p$, 
όπου $p$ πρώτος αριθμός, να αποδειχτεί ότι ισχύει 
\[
\mathrm{ind}_ua\equiv \mathrm{ind_w}a \cdot 
\mathrm{ind}_uw \mod (p-1).
\]
\item Να αποδειχτεί ότι το πλήθος των λύσεων 
της ισοδυναμίας
\[
x^2 \equiv a \mod p, 
\]
όπου $p$ περιττός πρώτος αριθμός είναι 
\[
Ν=\left\{
\begin{array}{ll}
1+\left(\frac{a}{p}\right), & \mbox{αν } p\nmid a\\
1, &\mbox{αν } p \mid a. 
\end{array}
\right.
\]
\end{enumerate}
\end{document}

