Ασκήσεις Θ. Αριθμών

5 Φυλλάδιο

Παράδοση Τετάρτη 14 Δεκεμβρίου

1. Δίνεται η ισοδυναμία
   $$ax^2 + bx + c \equiv 0 \mod p.$$
   όπου $p$ περιττός πρώτος και $a\not\equiv 0 \mod p$. Αν $d={b}^2-4ac$ είναι η διακρίνουσα του τριωνύμου $ax^2+ bx+ c$ να αποδειχτεί ότι το πλήθος λύσεων αυτής είναι
   $$N=\left\{ \begin{array}{ll} 1+ \left( \frac{d}{p}\right), & \mbox{αν } p\nmid d\\ 1, & \mbox{αν } p\mid d. \end{array}\right.$$

2. Να υπολογιστούν τα παρακάτω σύμβολα του Legendre
   $$\left(\frac{12703}{12361}\right), \left(\frac{3422}{5683}\right), \left(\frac{56737}{1001983}\right).$$

3. Να εξεταστεί αν έχει λύση η ισοδυναμία:
   $$x^2 \equiv 631 \mod 1033.$$

4. Για ποιούς πρώτους ο $3$ είναι τετραγωνικό υπόλοιπο $\mod p$.
5. Για ποιούς πρώτους ο $5$ είναι τετραγωνικό υπόλοιπο $\mod p$.