\documentclass[11pt]{article}
\makeatletter
\usepackage[greek, american]{babel}
%\usepackage{textcase}
\usepackage{amsmath,amsfonts}
\usepackage[iso-8859-7]{inputenc}
%\usepackage{kerkis}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\sg}{\selectlanguage{greek}}
\newcommand{\sa}{\selectlanguage{american}}
\newcommand{\LyX}{L\kern-.1667em\lower.25em\hbox{Y}\kern-.125emX\spacefactor1000}
%\theoremstyle{plain}
\newtheorem{thm}{Theorem}[section]
%\newtheorem{or}{Ορισμός}
\numberwithin{equation}{section} %% Comment out for sequentially-numbered
\numberwithin{figure}{section} %% Comment out for sequentially-numbered

\makeatother


\begin{document}                    
\selectlanguage{greek}
\centerline{ \huge{Ασκήσεις Θ. Αριθμών}}
\centerline{ \large{4 Φυλλάδιο}}
\centerline{Παράδοση Πέμπτη 1 Δεκεμβρίου}
\begin{enumerate}
\item Αν για τον ακέραιο αριθμό $a$ και για τον φυσικό αριθμό $m$ ισχύει 
$(a,m)=1$ και $(a-1,m)=1$, να αποδειχτεί ότι ισχύει 
\[
1+a+a^2+...+a^{\phi(m)-1} \equiv 0 \mod m. 
\]
\item 
Να αποδειχτεί ότι ισχύει 
\[
2^{341} \equiv 2 \mod 11. 
\]
\item 
Να αποδειχτεί ότι η ισοδυναμία 
\[
x^{13}\equiv 1 \mod 29,
\]
έχει μοναδική λύση την $x\equiv 1 \mod 29$. 
\item 
Να λυθούν οι ισοδυναμίες:
\[
x^3-3 \equiv 0 \mod 13
\]
\[
7x^4+19x+25 \equiv 0 \mod 27.
\]
\item 
Αν $0<s<p$ όπου $p$ πρώτος αριθμός να αποδειχτεί ότι ισχύει 
\[
(s-1)!(p-s)!+(-1)^{s-1} \equiv 0 \mod p.  
\]
\item 
Να λυθεί το σύστημα
\[
\begin{array}{c}
x \equiv 3 \mod 25\\
x \equiv 1 \mod 27 \\
x \equiv 4 \mod 11
\end{array}
\]
\end{enumerate}
\end{document}

