Ασκήσεις Θ. Αριθμών

3 Φυλλάδιο

Παράδοση Τετάρτη 16 Νοεμβρίου

1. Αν $\tau(n)$ παριστάνει το πλήθος των φυσικών διαιρετών του $n$ να αποδειχτεί ότι η συνάρτηση $n\mapsto \tau(n)$, είναι αριθμητική πολλαπλασιαστική.
2. Να αποδειχτεί ότι για κάθε φυσικό αριθμό $n$
   $$\sum_{d \vert n} \frac{\mu^2(d)}{\phi(d)} =\frac{n}{\phi(n)}.$$

3. Να αποδειχτεί ότι για κάθε φυσικό αριθμό $n$ ισχύει
   $$\sum_{d \vert n} \mu(d) \phi(d) =\prod_{p\vert n} (2-p),$$
   όπου το $d$ διατρέχει τους φυσικούς διαιρέτες του $n$, και το $p$ τους πρώτους διαιρέτες του $n$.
4. Nα βρεθεί το πλήθος και το άθροισμα των φυσικών διαιρετών του $1440$.

5. Αν $p$ πρώτος, δείξτε ότι
   $$\binom{p}{i}\equiv 0 \mod p$$
   για κάθε $0<i<p$. Αποδείξτε στην συνέχεια
   $$(x+y)^{p}\equiv x^{p} +y^{p}\mod p.$$
   Το παραπάνω για ευνόητους λόγους αποκαλείται ((το όνειρο του πρωτοετούς)).
6. Nα αποδειχτεί ότι για κάθε ακέραιο αριθμό $a$ ισχύει
   $$a^2 \equiv 0$$    ή $$1$$    ή $$4 \mod 8$$
   Επίσης να αποδειχτεί ότι για κάθε ακέραιο αριθμό $a$ ισχύει
   $$a^3 \equiv a \mod 3,\;\;\; a^5 \equiv a \mod 5 \;\;\; a^7 \equiv a \mod 7.$$

7. Αν $p,q$ είναι πρώτοι αριθμοί, διαφορετικοί μεταξύ τους, να αποδειχτεί ότι
   $$p^{q-1}+q^{p-1}\equiv 1 \mod pq.$$