\documentclass[11pt]{article}
\makeatletter
\usepackage[greek, american]{babel}
%\usepackage{textcase}
\usepackage{amsmath,amsfonts}
\usepackage[iso-8859-7]{inputenc}
%\usepackage{kerkis}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\sg}{\selectlanguage{greek}}
\newcommand{\sa}{\selectlanguage{american}}
\newcommand{\LyX}{L\kern-.1667em\lower.25em\hbox{Y}\kern-.125emX\spacefactor1000}
%\theoremstyle{plain}
\newtheorem{thm}{Theorem}[section]
%\newtheorem{or}{Ορισμός}
\numberwithin{equation}{section} %% Comment out for sequentially-numbered
\numberwithin{figure}{section} %% Comment out for sequentially-numbered

\makeatother


\begin{document}                    
\selectlanguage{greek}
\centerline{ \huge{Ασκήσεις Θ. Αριθμών}}
\centerline{ \large{3 Φυλλάδιο}}
\centerline{Παράδοση Τετάρτη 16  Νοεμβρίου}
\begin{enumerate}
\item Αν $\tau(n)$ παριστάνει το πλήθος των φυσικών διαιρετών του 
$n$ να αποδειχτεί ότι η συνάρτηση $n\mapsto \tau(n)$,  είναι 
αριθμητική πολλαπλασιαστική.
\item  Να αποδειχτεί ότι για κάθε φυσικό αριθμό $n$
\[
\sum_{d | n} \frac{\mu^2(d)}{\phi(d)} =\frac{n}{\phi(n)}. 
\]
\item  Να αποδειχτεί ότι για κάθε φυσικό αριθμό $n$ ισχύει 
\[
\sum_{d |n}  \mu(d) \phi(d) =\prod_{p| n} (2-p),
\]
όπου το $d$ διατρέχει τους φυσικούς διαιρέτες του $n$, και το $p$
τους πρώτους διαιρέτες του $n$. 
\item Nα βρεθεί το πλήθος και το άθροισμα των φυσικών 
διαιρετών του $1440$. 

\item 
Αν $p$ πρώτος, δείξτε ότι 
\[\binom{p}{i}\equiv 0 \mod p\]
για κάθε $0<i<p$. Αποδείξτε στην συνέχεια 
\[
(x+y)^{p}\equiv x^{p} +y^{p}\mod p. 
\]
Το παραπάνω για ευνόητους λόγους αποκαλείται ((το όνειρο του πρωτοετούς)).
\item Nα αποδειχτεί ότι για κάθε ακέραιο αριθμό $a$ ισχύει 
\[
a^2 \equiv 0   \mbox{ ή } 1 \mbox{ ή } 4 \mod 8
\]
Επίσης να αποδειχτεί ότι για κάθε ακέραιο αριθμό $a$ ισχύει
\[
a^3 \equiv a \mod 3,\;\;\; a^5 \equiv a \mod 5 \;\;\; a^7 \equiv a \mod 7.
\]
\item Αν $p,q$ είναι πρώτοι αριθμοί, διαφορετικοί μεταξύ τους,
να αποδειχτεί ότι 
\[
p^{q-1}+q^{p-1}\equiv 1 \mod pq.
\]
\end{enumerate}
\end{document}
