Ασκήσεις Θ. Αριθμών

2 Φυλλάδιο

Παράδοση Πέμπτη 3 Νοεμβρίου

1. Για $m,n$ ακεραίους $n>m$, oρίζεται το $\binom{n}{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$. Δείξτε ότι το $\binom{n}{m}$ είναι ακέραιος.
2. Να αποδειθεί ότι ο αριθμός $2^{4n+2}+1$ δεν είναι πρώτος για $n \geq 1$.
3. Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός $n^4+4$ δεν είναι πρώτος για $n>1$.
4. Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί της μορφής $6m+5$.
5. Αν $p_n$ συμβολίζει τον $n$-οστό πρώτο αριθμό, να αποδειχθεί ότι $p_{n-1} \geq n+2$ για $n \geq 5$.
6. Πότε ο αριθμός $(p-1)!+1$ είναι δύναμη του $p$, όπου $p$ πρώτος αριθμός?
7. Να βρεθεί ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των αριθμών $625$ και $231$ και να εκφρασθεί αυτός σαν γραμμικός συνδιασμός των παραπάνω αριθμών.
8. Nα αποδειχθεί ότι το γινόμενο τεσσάρων διαδοχικών αριθμών διαιρείται δια του 24.