\documentclass[11pt]{article}
\makeatletter
\usepackage[greek, american]{babel}
%\usepackage{textcase}
\usepackage{amsmath,amsfonts}
\usepackage[iso-8859-7]{inputenc}
%\usepackage{kerkis}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\sg}{\selectlanguage{greek}}
\newcommand{\sa}{\selectlanguage{american}}
\newcommand{\LyX}{L\kern-.1667em\lower.25em\hbox{Y}\kern-.125emX\spacefactor1000}
%\theoremstyle{plain}
\newtheorem{thm}{Theorem}[section]
%\newtheorem{or}{Ορισμός}
\numberwithin{equation}{section} %% Comment out for sequentially-numbered
\numberwithin{figure}{section} %% Comment out for sequentially-numbered

\makeatother


\begin{document}                    
\selectlanguage{greek}
\centerline{ \huge{Ασκήσεις Θ. Αριθμών}}
\centerline{ \large{2 Φυλλάδιο}}
\centerline{Παράδοση Πέμπτη  3 Νοεμβρίου}
\vskip
\begin{enumerate}
\item Για $m,n$ ακεραίους $n>m$, oρίζεται το $\binom{n}{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$. 
Δείξτε ότι το $\binom{n}{m}$ είναι ακέραιος. 
\item Να αποδειθεί ότι ο αριθμός $2^{4n+2}+1$ δεν είναι πρώτος για $n \geq 1$. 
\item Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός $n^4+4$ δεν είναι πρώτος για $n>1$. 
\item Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί της μορφής $6m+5$. 
\item Αν $p_n$ συμβολίζει τον $n$-οστό πρώτο αριθμό, να αποδειχθεί ότι 
$p_{n-1} \geq n+2$ για $n \geq 5$. 
\item Πότε ο αριθμός $(p-1)!+1$ είναι δύναμη του $p$, όπου $p$ πρώτος αριθμός?
\item Να βρεθεί ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των αριθμών $625$ και $231$ και να 
εκφρασθεί αυτός σαν γραμμικός συνδιασμός των παραπάνω αριθμών. 
\item Nα αποδειχθεί ότι το γινόμενο τεσσάρων διαδοχικών αριθμών 
διαιρείται δια του 24.

\end{enumerate}
\end{document}
