Ασκήσεις Θ. Αριθμών

1 Φυλλάδιο

Παράδοση Πέμπτη 20 Οκτωβρίου

1. Θεωρούμε το πολυώνυμο με συντελεστές από το $\mathbb{Z}$ της μορφής
   $$f(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i.$$
   Δείξτε ότι αν το $f(x)$ έχει ρητή ρίζα $q=a/b$ τότε το $b \mid a_n$ και το $a \mid a_0$. Να δείξετε ότι οι αριθμοί $\sqrt[13]{3}$, $\sqrt[3]{5}$, δεν είναι ρητοί. Είναι σωστό ότι το άθροισμα δύο άρρητων είναι άρρητος?
2. Να αποδειχτεί ότι ο αριθμός $100m+n$ διαιρείται δια του $7$, αν ο αριθμός $2m+n$ διαιρείται δια του $7$.
3. Να αποδειχτεί ότι ένας αριθμός διαιρείται δια του $3$ ή του $9$, αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται δια του $3$ ή του $9$, αντίστοιχα.
4. Να αποδειχτεί ότι ο αριθμός $3n^2+1$, $n \in \mathbb{N}$, δεν μπορεί να είναι το τετράγωνο ενός φυσικού αριθμού.
5. Αν για τους φυσικούς αριθμούς $m,n$ ισχύει $m<n$ να αποδειχτεί ότι $2^{2^m} +1 \mid 2^{2^n}-1$.
6. Να αποδειχτεί ότι για κάθε φυσικό αριθμό $n>0$ ισχύει $10$ δεν διαιρεί το $(n-1)! +1$.