Εξέταση Θεωρίας Αριθμών

17 Σεπτεμβρίου 2003

1. Να αποδειχτεί ότι το γινόμενο τεσάρων διαδοχικών αριθμών διαιρείται με το $24$.
2. Αν ο $p$ είναι πρώτος δείξτε ότι
   $$\binom{p}{i} \equiv 0 \mod p.$$
   Αποδείξτε στην συνέχεια ότι
   $$(x+y)^p \equiv x^p +y^p \mod p.$$
   Γιατί το $\binom{p}{i}$ είναι ακέραιος?
3. Να βρεθεί ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των αριθμών $1193930$ και $936327$ και να γραφεί σαν ακέραιος γραμμικός συνδιασμός των αριθμών αυτών.
4. Να λυθεί το σύστημα
   $$3x \equiv 1 \mod 5$$
   $$2x\equiv 3 \mod 7$$
   $$5x \equiv 11 \mod 3.$$

5. Να οριστεί πότε μια συνάρτηση $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C}$ θα λέγεται αριθμητική πολλαπλασιαστική. Να οριστεί η συνάρτηση $\phi$ του Euler και να αποδειχτεί ότι είναι αριθμητική πολλαπλασιαστική. Αποδείξτε ότι
   $$\phi(p)=p-1$$    και $$\phi(p^n)=p^n-p^{n-1},$$
   για $n \geq 1.$
6. Να αποδειχτεί ότι ο $\sqrt 3$ είναι άρρητος.
7. Να εξεταστεί αν έχει λύσεις η ισοδυναμία
   $$x^2 \equiv 631 \mod 1033.$$
   Δίνεται ότι ο αριθμός $1033$ είναι πρώτος.

Καλή Επιτυχία