\documentclass[12pt]{article}
\pagenumbering{none}
\makeatletter
\usepackage[german,american,greek]{babel}
\usepackage[iso-8859-7]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
%\usepackage{kerkis}
%\usepackage{talos}
\newcommand{\sg}{\selectlanguage{greek}}
\newcommand{\sa}{\selectlanguage{american}}
\newcommand{\LyX}{L\kern-.1667em\lower.25em\hbox{Y}\kern-.125emX\spacefactor1000}
%spacefactor\theoremstyle{plain}
\newtheorem{Th}{Θεώρημα}%[section]
%\numberwithin{equation}{section} %% Comment out for sequentially-numbered
%\numberwithin{figure}{section} %% Comment out for sequentially-numbered

\makeatother


\begin{document}
\centerline{{ \large  Εξέταση Θεωρίας Αριθμών  }}
\centerline{{ 17 Σεπτεμβρίου  2003 }}

\begin{center}
\rule{2cm}{2pt}
\end{center}



\begin{enumerate}
	\item 
		Να αποδειχτεί ότι το γινόμενο τεσάρων διαδοχικών αριθμών 
		διαιρείται με το $24$. 
	\item 
		Αν ο $p$ είναι πρώτος δείξτε ότι 
		\[
		\binom{p}{i} \equiv 0 \mod p.
		\]
		Αποδείξτε στην συνέχεια ότι 
		\[
		(x+y)^p \equiv x^p +y^p \mod p. 
		\]
		Γιατί το $	\binom{p}{i} $ είναι ακέραιος?
	\item 
		Να βρεθεί ο  μέγιστος κοινός διαιρέτης των αριθμών $1193930$ 
		και $936327$ και να γραφεί σαν ακέραιος γραμμικός συνδιασμός των 
		αριθμών αυτών.
	\item 
		Να λυθεί το σύστημα
		\[
		3x \equiv 1 \mod 5
		\]
		\[
		2x\equiv 3 \mod 7
		\]
		\[
		5x \equiv 11 \mod 3.
		\]
	\item
		Να οριστεί πότε μια συνάρτηση $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C}$ 
		θα λέγεται αριθμητική πολλαπλασιαστική. 
		Να οριστεί η συνάρτηση $\phi$ του \textlatin{Euler} 
		και να αποδειχτεί ότι είναι αριθμητική πολλαπλασιαστική. 
	Αποδείξτε ότι 
	\[
	\phi(p)=p-1 \mbox{ και } \phi(p^n)=p^n-p^{n-1},
	\]
	για $n \geq 1.$
	\item
		Να αποδειχτεί ότι ο $\sqrt 3$ είναι άρρητος. 
	\item 
		Να εξεταστεί αν έχει λύσεις η ισοδυναμία 
		\[
		x^2 \equiv 631 \mod 1033.
		\]
      Δίνεται ότι ο αριθμός $1033$ είναι πρώτος. 
    
\end{enumerate}
\centerline{Καλή Επιτυχία}
\end{document}
