\documentclass[12pt]{article}
\pagenumbering{none}
\makeatletter
\usepackage[german,american,greek]{babel}
\usepackage[iso-8859-7]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
%\usepackage{kerkis}
%\usepackage{talos}
\newcommand{\sg}{\selectlanguage{greek}}
\newcommand{\sa}{\selectlanguage{american}}
\newcommand{\LyX}{L\kern-.1667em\lower.25em\hbox{Y}\kern-.125emX\spacefactor1000}
%spacefactor\theoremstyle{plain}
\newtheorem{Th}{Θεώρημα}%[section]
%\numberwithin{equation}{section} %% Comment out for sequentially-numbered
%\numberwithin{figure}{section} %% Comment out for sequentially-numbered

\makeatother


\begin{document}
\centerline{{ \large  Εξέταση Θεωρίας Αριθμών  }}
\centerline{{ 27 Ιανουαρίου  2003 }}

\begin{center}
\rule{2cm}{2pt}
\end{center}



\begin{enumerate}
	 \item Για $m,n$ ακεραίους $n>m$, oρίζεται το $\binom{n}{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$.
Δείξτε ότι το $\binom{n}{m}$ είναι ακέραιος.
   \item
Nα υπολογίσετε τον μέγιστο κοινό διαιρέτη των αριθμών $234$  και $71$ και να 
εφράσετε  σαν γραμμικό συνδιασμός αυτών. Στην συνέχεια να λυθεί η 
\[
71x\equiv 1 \mod 234
\]
και η 
\[
142x \equiv 2 \mod 468.
\]
\item 
	Nα βρεθούν οι αριθμοί $x$ που όταν διαιρεθούν με το $3$ αφήνουν υπόλοιπο $2$, 
	όταν διαιρεθούν με το $5$ αφήνουν υπόλοιπο $3$ και όταν διαιρεθούν με το $7$ 
	αφήνουν υπόλοιπο $2$. 
\item 
	Να οριστεί η συνάρτηση $\phi$ του \textlatin{Euler}. Να δείξετε ότι είναι 
	πολλαπλασιαστική και ότι 
	\[
	\phi(p^k) = p^k -p^{k-1}. 
	\]
\item 
	Να διατυπώσετε το ((μικρό)) θεώρημα του \textlatin{Fermat}.  
	Aν $p,q$ είναι πρώτοι αριθμοί, διαφορετικοί μεταξύ τους, να αποδειχτεί ότι 
	\[
	p^{q-1}+{q}^{p-1}\equiv 1 \mod pq. 
	\]
\item Να οριστεί η τάξη ενός αριθμού \textlatin{modulo} $m$. Να οριστεί η 
	πρωταρχική ρίζα \textlatin{modulo} $m$, και ο δείκτης ενός αριθμού ως προς 
	μια πρωταρχική ρίζα. 
	Αν $w,u$ είναι δύο αρχικές ρίζες \textlatin{modulo} $p$,
όπου $p$ πρώτος αριθμός, να αποδειχτεί ότι ισχύει
\[
\mathrm{ind}_ua\equiv \mathrm{ind_w}a \cdot
\mathrm{ind}_uw \mod (p-1).
\]
\item 
Nα εξετάσετε αν η ισοδυναμία 
\[
x^2 \equiv 23 \mod 5231, 
\]
έχει λύσεις. Δίνεται ότι ο αριθμός $5231$ είναι πρώτος. 
\end{enumerate}
\centerline{Καλή Επιτυχία}
\end{document}
