Ασκήσεις Θ. Αριθμών

6 Φυλλάδιο

Παράδοση Παρασκευή 6 Δεκεμβρίου

1. Αν ισχύει
   $$ab\equiv 1 \mod m,$$
   να αποδειχτεί ότι ισχύει
   $$\mathrm{ord}_m a=\mathrm{ord}_m b.$$

2. Αν ισχύει
   $$\mathrm{ord}_m a=r,$$
   τότε θα ισχύει
   $$\mathrm{ord}_m a^n =\frac{r}{(n,r)}.$$

3. Αν για ένα πρώτο αριθμό $p$ ισχύει
   $$\mathrm{ord}_pa=r$$    και $$\mathrm{ord}_pb=s,$$
   και επιπλέον ισχύει $(r,s)=1$, να αποδειχτεί ότι θα ισχύει
   $$\mathrm{ord}_p ab=rs.$$

4. Αν $a$ είναι μία αρχική ρίζα modulo $m$, τότε $a^n$ είναι αρχική ρίζα modulo $m$, αν ισχύει $(n,\phi(n))=1$.
5. Αν $w,u$ είναι δύο αρχικές ρίζες modulo $p$, όπου $p$ πρώτος αριθμός, να αποδειχτεί ότι ισχύει
   $$\mathrm{ind}_ua\equiv \mathrm{ind_w}a \cdot \mathrm{ind}_uw \mod (p-1).$$

6. Να αποδειχτεί ότι το πλήθος των λύσεων της ισοδυναμίας
   $$x^2 \equiv a \mod p,$$
   όπου $p$ περιττός πρώτος αριθμός είναι
   $$Ν=\left\{ \begin{array}{ll} 1+\left(\frac{a}{p}\right), & \mbox{αν } p\nmid a\\ 1, &\mbox{αν } p \mid a. \end{array}\right.$$