Ασκήσεις Θ. Αριθμών

5 Φυλλάδιο

Παράδοση Παρασκευή 29 Νοεμβρίου

1. Αν για τον ακέραιο αριθμό $a$ και για τον φυσικό αριθμό $m$ ισχύει $(a,m)=1$ και $(a-1,m)=1$, να αποδειχτεί ότι ισχύει
   $$1+a+a^2+...+a^{\phi(m)-1} \equiv 0 \mod m.$$

2. Να αποδειχτεί ότι ισχύει
   $$2^{341} \equiv 2 \mod 11.$$

3. Να αποδειχτεί ότι η ισοδυναμία
   $$x^{13}\equiv 1 \mod 29,$$
   έχει μοναδική λύση την $x\equiv 1 \mod 29$.
4. Να λυθούν οι ισοδυναμίες:
   $$x^3-3 \equiv 0 \mod 13$$
   $$7x^4+19x+25 \equiv 0 \mod 27.$$

5. Αν $0<s<p$ όπου $p$ πρώτος αριθμός να αποδειχτεί ότι ισχύει
   $$(s-1)!(p-s)!+(-1)^{s-1} \equiv 0 \mod p.$$

6. Nα βρεθεί η τάξη του $7$ modulo $34$.
7. Αν $p$ είναι περιττός πρώτος αριθμός και $a$ είναι ακέραιος αριθμός πρώτος προς τον $p$ με $ord_pa=r>1$, να αποδειχτεί ότι ισχύει
   $$a+a^2+...+a^{r-1} \equiv -1 \mod p.$$