Ασκήσεις Θ. Αριθμών

4 Φυλλάδιο

Παράδοση Παρασκευή 15 Νοεμβρίου

1. Αν $\tau(n)$ παριστάνει το πλήθος των φυσικών διαιρετών του $n$ να αποδειχτεί ότι η συνάρτηση $n\mapsto \tau(n)$, είναι αριθμητική πολλαπλασιαστική.
2. Αν η συνάρτηση $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C}$ είναι πολλαπλασιαστική αριθμητική να αποδειχτεί ότι και η
   $$g: \mathbb{N}\ni n \rightarrow \sum_{d \vert n} f(d) \in \mathbb{C},$$
   είναι πολλαπλασιαστική αριθμητική.
3. Να αποδειχτεί ότι για κάθε φυσικό αριθμό $n$
   $$\sum_{d \vert n} \frac{\mu^2(d)}{\phi(d)} =\frac{n}{\phi(n)}.$$

4. Να αποδειχτεί ότι για κάθε φυσικό αριθμό $n$ ισχύει
   $$\sum_{d \vert n} \mu(d) \phi(d) =\prod_{p\vert n} (2-p),$$
   όπου το $d$ διατρέχει τους φυσικούς διαιρέτες του $n$, και το $p$ τους πρώτους διαιρέτες του $n$.
5. Nα βρεθεί το πλήθος και το άθροισμα των φυσικών διαιρετών του $1440$.
6. An $\sigma(n)$ συμβολίζει το άθροισμα των φυσικών διαιρετών του $n$ και $\tau(n)$ το πλήθος των φυσικών διαιρετών του $n$ να αποδειχτεί ότι
   $$\sum_{d\vert n} \sigma(d)\mu(\frac{n}{d})=n,$$
   και
   $$\sum_{d\vert n}\tau(d) \mu(\frac{n}{d})=1.$$

7. Αν $p,q$ είναι πρώτοι αριθμοί, διαφορετικοί μεταξύ τους, να αποδειχτεί ότι
   $$p^{q-1}+q^{p-1}\equiv 1 \mod pq.$$