\documentclass[11pt]{article}
\makeatletter
\usepackage[greek, american]{babel}
%\usepackage{textcase}
\usepackage{amsmath,amsfonts}
\usepackage[iso-8859-7]{inputenc}
%\usepackage{kerkis}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\sg}{\selectlanguage{greek}}
\newcommand{\sa}{\selectlanguage{american}}
\newcommand{\LyX}{L\kern-.1667em\lower.25em\hbox{Y}\kern-.125emX\spacefactor1000}
%\theoremstyle{plain}
\newtheorem{thm}{Theorem}[section]
%\newtheorem{or}{Ορισμός}
\numberwithin{equation}{section} %% Comment out for sequentially-numbered
\numberwithin{figure}{section} %% Comment out for sequentially-numbered

\makeatother


\begin{document}                    
\selectlanguage{greek}
\centerline{ \huge{Ασκήσεις Θ. Αριθμών}}
\centerline{ \large{4 Φυλλάδιο}}
\centerline{Παράδοση Παρασκευή 15 Νοεμβρίου}
\begin{enumerate}
\item Αν $\tau(n)$ παριστάνει το πλήθος των φυσικών διαιρετών του 
$n$ να αποδειχτεί ότι η συνάρτηση $n\mapsto \tau(n)$,  είναι 
αριθμητική πολλαπλασιαστική.
\item Αν η συνάρτηση $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C}$ είναι 
πολλαπλασιαστική αριθμητική να αποδειχτεί ότι και η 
\[
g: \mathbb{N}\ni n \rightarrow \sum_{d | n} f(d) \in \mathbb{C},
\]
είναι πολλαπλασιαστική αριθμητική. 
\item  Να αποδειχτεί ότι για κάθε φυσικό αριθμό $n$
\[
\sum_{d | n} \frac{\mu^2(d)}{\phi(d)} =\frac{n}{\phi(n)}. 
\]
\item  Να αποδειχτεί ότι για κάθε φυσικό αριθμό $n$ ισχύει 
\[
\sum_{d |n}  \mu(d) \phi(d) =\prod_{p| n} (2-p),
\]
όπου το $d$ διατρέχει τους φυσικούς διαιρέτες του $n$, και το $p$
τους πρώτους διαιρέτες του $n$. 
\item Nα βρεθεί το πλήθος και το άθροισμα των φυσικών 
διαιρετών του $1440$. 
\item An $\sigma(n)$ συμβολίζει το άθροισμα των φυσικών διαιρετών 
του $n$ και $\tau(n)$ το πλήθος των φυσικών διαιρετών του $n$ 
να αποδειχτεί ότι 
\[
\sum_{d|n} \sigma(d)\mu(\frac{n}{d})=n,
\]
και 
\[
\sum_{d|n}\tau(d) \mu(\frac{n}{d})=1.
\]
\item Αν $p,q$ είναι πρώτοι αριθμοί, διαφορετικοί μεταξύ τους,
να αποδειχτεί ότι 
\[
p^{q-1}+q^{p-1}\equiv 1 \mod pq.
\]
\end{enumerate}
\end{document}

