Ασκήσεις Θ. Αριθμών

3 Φυλλάδιο

Παράδοση Τετάρτη 6 Νοεμβρίου

1. Δύο πρώτοι αριθμοί $p,p'$ θα λέγονται δίδυμοι αν η διαφορά τους είναι $2$, Βρείτε το πλήθος των διδύμων πρώτων που είναι μικρότεροι από $100000$.
2. Nα δείξετε ότι το $x^2-x+41$ για $x=0,...,40$ είναι πρώτος. Ομοίως να δείξετε ότι τι $x^2-79x+1601$ για $x=0,...,79$ είναι πρώτος.
3. Να υπολογιστούν οι πρώτοι αριθμοί του Fermat, δηλαδή πρώτοι αριθμοί της μορφής $2^{2^n}+1$ για $n\leq 100$.
4. Αν $p$ πρώτος, δείξτε ότι
   $$\binom{p^k}{i}\equiv 0 \mod p$$
   για κάθε $0<i<p^k$. Αποδείξτε στην συνέχεια
   $$(x+y)^{p^k}\equiv x^{p^k} +y^{p^k}\mod p.$$
   Το παραπάνω για ευνόητους λόγους αποκαλείται ((το όνειρο του πρωτοετούς)).
5. Nα αποδειχτεί ότι για κάθε ακέραιο αριθμό $a$ ισχύει
   $$a^2 \equiv 0$$    ή $$1$$    ή $$4 \mod 8$$
   Επίσης να αποδειχτεί ότι για κάθε ακέραιο αριθμό $a$ ισχύει
   $$a^3 \equiv a \mod 3,\;\;\; a^5 \equiv a \mod 5 \;\;\; a^7 \equiv a \mod 7.$$

6. Nα λυθούν οι γραμμικές ισοδυναμίες
   $$\begin{array}{l} 88x\equiv 1 \mod 137 \\ 21x\equiv 45 \mod ... ... 55x \equiv 7 \mod 71 \\ 513x\equiv -17 \mod 1163. \end{array}$$

Να πάτε στην διευθύνση http://eloris.samos.aegean.gr/mailman/listinfo/numth και να γίνετε μέλη της δημόσιας λίστας συζήτησης σχετικά με το μάθημα.