\documentclass[11pt]{article}
\makeatletter
\usepackage[greek, american]{babel}
%\usepackage{textcase}
\usepackage{amsmath,amsfonts}
\usepackage[iso-8859-7]{inputenc}
%\usepackage{kerkis}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\sg}{\selectlanguage{greek}}
\newcommand{\sa}{\selectlanguage{american}}
\newcommand{\LyX}{L\kern-.1667em\lower.25em\hbox{Y}\kern-.125emX\spacefactor1000}
%\theoremstyle{plain}
\newtheorem{thm}{Theorem}[section]
%\newtheorem{or}{Ορισμός}
\numberwithin{equation}{section} %% Comment out for sequentially-numbered
\numberwithin{figure}{section} %% Comment out for sequentially-numbered

\makeatother


\begin{document}                    
\selectlanguage{greek}
\centerline{ \huge{Ασκήσεις Θ. Αριθμών}}
\centerline{ \large{3 Φυλλάδιο}}
\centerline{Παράδοση Τετάρτη 6 Νοεμβρίου}
\begin{enumerate}
\item Δύο πρώτοι αριθμοί $p,p'$ θα λέγονται δίδυμοι αν η διαφορά τους
είναι $2$, Βρείτε το πλήθος των διδύμων πρώτων που είναι μικρότεροι από 
$100000$.
\item Nα δείξετε ότι το $x^2-x+41$ για $x=0,...,40$ είναι πρώτος. Ομοίως 
να δείξετε ότι τι $x^2-79x+1601$ για $x=0,...,79$  είναι πρώτος. 
\item Να υπολογιστούν οι πρώτοι αριθμοί του \textlatin{Fermat}, 
δηλαδή πρώτοι αριθμοί της μορφής $2^{2^n}+1$ για $n\leq 100$. 
\item 
Αν $p$ πρώτος, δείξτε ότι 
\[\binom{p^k}{i}\equiv 0 \mod p\]
για κάθε $0<i<p^k$. Αποδείξτε στην συνέχεια 
\[
(x+y)^{p^k}\equiv x^{p^k} +y^{p^k}\mod p. 
\]
Το παραπάνω για ευνόητους λόγους αποκαλείται ((το όνειρο του πρωτοετούς)).
\item Nα αποδειχτεί ότι για κάθε ακέραιο αριθμό $a$ ισχύει 
\[
a^2 \equiv 0   \mbox{ ή } 1 \mbox{ ή } 4 \mod 8
\]
Επίσης να αποδειχτεί ότι για κάθε ακέραιο αριθμό $a$ ισχύει
\[
a^3 \equiv a \mod 3,\;\;\; a^5 \equiv a \mod 5 \;\;\; a^7 \equiv a \mod 7.
\]
\item Nα λυθούν οι γραμμικές ισοδυναμίες
\[
\begin{array}{l}
88x\equiv 1 \mod 137 \\
21x\equiv 45 \mod 239 \\
33x\equiv 398 \mod 631 \\
55x \equiv 7 \mod 71 \\
513x\equiv -17 \mod 1163.
\end{array}
\]
\end{enumerate}
Να πάτε στην διευθύνση 
\textlatin{\texttt{
http://eloris.samos.aegean.gr/mailman/listinfo/numth
}}
και να γίνετε μέλη της δημόσιας λίστας συζήτησης σχετικά 
με το μάθημα. 
\end{document}
