Ασκήσεις Θ. Αριθμών

2 Φυλλάδιο

Παράδοση Τετάρτη 23 Οκτωβρίου

1. Για $m,n$ ακεραίους $n>m$, oρίζεται το $\binom{n}{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$. Δείξτε ότι το $\binom{n}{m}$ είναι ακέραιος.
2. Να αποδειθεί ότι ο αριθμός $2^{4n+2}+1$ δεν είναι πρώτος για $n \geq 1$.
3. Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός $n^4+4$ δεν είναι πρώτος για $n>1$.
4. Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί της μορφής $6m+5$.
5. Αν $p_n$ συμβολίζει τον $n$-οστό πρώτο αριθμό, να αποδειχθεί ότι $p_{n-1} \geq n+2$ για $n \geq 5$.
6. Πότε ο αριθμός $(p-1)!+1$ είναι δύναμη του $p$, όπου $p$ πρώτος αριθμός?
7. Να βρεθεί ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των αριθμών $625$ και $231$ και να εκφρασθεί αυτός σαν γραμμικός συνδιασμός των παραπάνω αριθμών.
8. Nα αποδειχθεί ότι το γινόμενο τεσσάρων διαδοχικών αριθμών διαιρείται δια του 24.
9. Να βρεθεί η ανάλυση του αριθμού

   1881988129206079638386972394616504398071635633794173827007

   63356422988859715234665485319060606504743045317388011303396

   716199692321205734031879550656996221305168759307650257059

   σε πρώτους παράγοντες. To πρόβλημα αυτό είναι γνωστό σαν ((RSA-576)) και όποιος το λύσει θα πάρει βραβείο $10.000 από την $\textlatin{RSA}$. Για περισσότερες πληροφορίες καθώς και για λίστα προβλημάτων με ανάλογες αμοιβές ρίξτε μια ματιά στο:

   www.rsasecurity.com/rsalabs/challenges/factoring/index.html

10. Nα αποδειχθεί ότι κάθε άρτιος αριθμός μεγαλύτερος του $4$ μπορεί να παρασταθεί σαν άθροισμα δύο περιττών πρώτων αριθμών, για παράδειγμα $6=3+3$, $8=5+3$, $10=7+3$, $12=7+5$, $14=11+3$.