\documentclass[11pt]{article}
\makeatletter
\usepackage[greek, american]{babel}
%\usepackage{textcase}
\usepackage{amsmath,amsfonts}
\usepackage[iso-8859-7]{inputenc}
%\usepackage{kerkis}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\sg}{\selectlanguage{greek}}
\newcommand{\sa}{\selectlanguage{american}}
\newcommand{\LyX}{L\kern-.1667em\lower.25em\hbox{Y}\kern-.125emX\spacefactor1000}
%\theoremstyle{plain}
\newtheorem{thm}{Theorem}[section]
%\newtheorem{or}{Ορισμός}
\numberwithin{equation}{section} %% Comment out for sequentially-numbered
\numberwithin{figure}{section} %% Comment out for sequentially-numbered

\makeatother


\begin{document}                    
\selectlanguage{greek}
\centerline{ \huge{Ασκήσεις Θ. Αριθμών}}
\centerline{ \large{1 Φυλλάδιο}}
\centerline{Παράδοση Παρασκευή 11 Οκτωβρίου}
\vskip
\begin{enumerate}
\item Θεωρούμε το πολυώνυμο με συντελεστές από το $\mathbb{Z}$ της μορφής
\[
f(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i. 
\]
Δείξτε ότι αν το $f(x)$ έχει ρητή ρίζα $q=a/b$ τότε το $b \mid a_n$ και το 
$a \mid a_0$. Να δείξετε ότι οι αριθμοί $\sqrt[13]{3}$, $\sqrt[3]{5}$, 
δεν είναι ρητοί. Είναι σωστό ότι το άθροισμα δύο άρρητων είναι άρρητος?
\item
Να αποδειχτεί ότι ο αριθμός $100m+n$ διαιρείται δια του $7$, αν ο 
αριθμός $2m+n$ διαιρείται δια του $7$. 
\item 
Να αποδειχτεί ότι ένας αριθμός διαιρείται δια του $3$ ή του $9$, 
αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται δια του $3$ ή του $9$, 
αντίστοιχα. 
\item 
Να αποδειχτεί ότι ο αριθμός $3n^2+1$, $n \in \mathbb{N}$, δεν 
μπορεί να είναι το τετράγωνο ενός φυσικού αριθμού. 
\item 
Αν για τους φυσικούς  αριθμούς $m,n$ ισχύει $m<n$ να αποδειχτεί 
ότι $2^{2^m} +1 \mid 2^{2^n}-1$. 
\item 
Να αποδειχτεί ότι για κάθε φυσικό αριθμό $n>0$ ισχύει 
$10$ δεν διαιρεί το  $(n-1)! +1$. 
\end{enumerate}
\end{document}
