Ασκήσεις Θ. Ομάδων

1 Φυλλάδιο

Παράδoση Παρασκευή 22 Φεβρουαρίου

1. Να δείξετε ότι το σύνολο $G$ των $n\times n$ πινάκων με ορίζουσα διαφορετική του μηδενός αποτελεί ομάδα με πράξη τον πολ/σμό πινάκων. Να δείξετε ότι το υποσύνολο $H$ του $G$ που αποτελείτε από τους $n\times n$ πίνακες με ορίζουσα $1$ αποτελεί υποομάδα του $G$.
2. Αν $Η$, $Κ$ είναι υποομάδες της ομάδας $G$, η τομή τους είναι υποομάδα της $G$? Η ένωση τους είναι υποομάδα της $G$?
3. Καθορίστε αν είναι ομάδες οι παρακάτω
   • $(\mathbb{Z},*)$ όπου $a*b=a-b$
   • $(\mathbb{Z}.*)$ όπου $a*b=a+3b$
4. Αν σε μία ομάδα $G$ ισχύει $(ab)^i =a^ib^i$ για τρείς διαδοχικούς ακαίρεους $i$, αποδείξτε ότι η $G$ είναι αβελιανή.
5. Δείξτε ότι μία ομάδα με δύο ή τρία στοιχεία είναι αβελιανή.
6. Να δείξετε ότι το σύνολο των πινακών $n\times n$ με συντελεστές πραγματικούς, για τους οποίους ισχύει:
   $$Α Α^t={\rm Id_n},$$
   αποτελεί ομάδα με πράξη τον πολ/σμό πινάκων.
7. Είναι οι ομάδες που ορίστηκαν στις ασκήσεις (1) και (6) αβελιανές?