Εξέταση Γραμμικής Άλγεβρας Ι

Παρασκευή 18 Ιανουαρίου 2002

truecm

1. 1. Έστω $Χ$ διανυσματικός χώρος και $x_1,...,x_m$ ιδιοδιανύσματα της γραμμικής συνάρτησης $L:X\rightarrow X$, που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ανά δύο ιδιοτιμές $\lambda_1,...,\lambda_m$. Nα δείξετε ότι τα $x_1,...,x_m$ είναι γραμμικά ανεξάρτητα.
   2. Να δείξετε ότι όμοιοι πίνακες έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυμο. Nα δώσετε παράδειγμα πινάκων με ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυμο που να μην είναι όμοιοι.
2. 1. Δίνεται η γραμμική απεικόνιση $L:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^4$ με πίνακα
      $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 2 \\ \end{pmatrix}.$$
      Nα υπολογίσετε βάσεις για τον πυρήνα και την εικόνα της $L$.
   2. Να βρείτε όλες τις λύσεις του συστήματος:
      $$\begin{array}{llll} x & & +z &= 1 \\ x &+y & +2z &= 1 \\ 2x &+ 1y &+3z &=2 \\ 2x & &+2z &=2 \end{array}$$

3. Ένας πίνακας $n\times n$ θα λέγεται αντισυμμετρικός αν και μόνο αν $A^t=-A$. Να δείξετε ότι για $n$ περιττό κάθε αντισυμμετρικός πίνακας δεν είναι αντιστρέψιμος.
4. Βρείτε μια ορθοκανονική βάση του υποχώρου του $\mathbb{R}^4$ που παράγεται από τα $v_1=(1,-1,0,0)$, $v_2=(0,1,-1,0)$, $v_3=(0,0,1,-1)$.
5. 1. Είναι ο πίνακας $A=\begin{pmatrix}4 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ διαγωνοποιήσιμος? Αν ναι, να τον γράψετε σε διαγώνια μορφή.
   2. Θεωρούμε δύο ακολουθίες $(a_n)_n$ και $(b_n)_n$ που ορίζονται ως εξής: $a_0=b_0=1$, $a_{n+1}=4a_n + 3 b_n$ , $b_{n+1}=a_n + 2b_n$. Nα υπολογίσετε τα $a_n,b_n$ συναρτήσει του $n$.
6. Θεωρήστε τον γραμμικό χώρο $P_n$ των πολυωνύμων βαθμού $\leq n$ με συντελεστές πραγματικούς. Θεωρήστε την βάση $1,x,x^2,...,x^n$ του $P_n$. Να δείξετε ότι η συνάρτηση $L:P_n \rightarrow P_n$ που στέλνει το πολυώνυμο $f$ στην παράγωγο του είναι γραμμική. Αφού υπολογίσετε τον πίνακα της $L$ ως προς την παραπάνω βάση, να υπολογίσετε τις ιδιοτιμές και τους ιδιόχωρους κάθε ιδιοτιμής. Για ποιους φυσικούς $n$ είναι ο πίνακας της $L$ διαγωνοποιήσιμος?

truecm

Καλή επιτυχία