Πρόοδος Γραμμικής Άλγεβρας Ι

Κυριακή 18 Νοεμβρίου 2001

1. 1. Έστω $x_1,...,x_n$ διανύσματα εντός του $K$-διανυσματικού χώρου $V$. Δείξτε ότι τα $x_1,...,x_n$ είναι γραμμικά εξαρτημένα αν και μόνο αν ένα από αυτά μπορεί να γραφτεί σαν γραμμικός συνδιασμός των υπολοίπων.
   2. Έστω $X,Y$ διανυσματικοί χώροι και $\{x_1,...,x_n\}$ βάση του $X$. Θεωρούμε την γραμμική συνάρτηση $L:X\rightarrow Y$. Ορίζουμε τα $y_1,...,y_n\in Y$ σαν $y_i=L(x_i)$. Δείξτε ότι αν η $L$ είναι 1-1 τότε τα $y_1,...,y_n$ είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Εξηγήστε τι μπορεί να συμβεί αν η $L$ δεν είναι 1-1, δίνοντας κατάληλο παράδειγμα.
2. Θεωρούμε τον χώρο $E$ των πολυωνύμων βαθμού μικρότερου ή ίσου του $3$. Να δείξετε ότι τα πολυώνυμα $\{1,x,x^2,x^3\}$ αποτελούν βάση του $E$. Στην συνέχεια να δείξετε ότι η συνάρτηση $L:E \rightarrow E$, η οποία στέλνει το $f$ στην παράγωγο του είναι γραμμική συνάρτηση. Να γράψετε τον πίνακα της ως προς την παραπάνω βάση να υπολογίσετε μια βάση για τον πυρήνα και την εικόνα της.
3. Έστω $n\times n$ πίνακας $Α$, ο οποίος γράφεται στην μορφή $A=QBQ^{-1}$, όπου $Q$ αντιστρέψιμος $n\times n$ πίνακας. Να εκφράσετε τις δυνάμεις του $Α$ συναρτήσει των δυνάμεων του $B$.
4. Να υπολογίσετε τους $2\times 2$ πίνακες $Α$ τέτοιους ώστε
   $$AB=BA,$$
   για όλους τους $2\times 2$ πίνακες $B$.
5. Δίνεται ο πίνακας
   $$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
   ο οποίος ορίζει γραμμική απεικόνιση από το $\mathbb{R}^4$ στο $\mathbb{R}^3$. Να κατασκευαστεί μία βάση για τον πυρήνα και την εικόνα της παραπάνω γραμμικής απεικόνισης. Να θεωρήσετε την γραμμική απεικόνιση από τον $\mathbb{R}^3$ στον $\mathbb{R}^4$ που ορίζεται από τον ανάστροφο πίνακα και να υπολογίσετε μια βάση για τον πυρήνα και την εικόνα αυτής.

Καλή επιτυχία