Ημερολόγιο Μαθήματος Γραμμικής Άλγεβρας
Εδω υπάρχουν σημειώσεις σχετικά με την
ύλη που καλύφτηκε σε κάθε μάθημα.


Τρίτη 25 Σεπτεμβρίου 2001
Διδάχτηκαν οι σελίδες 1-12 των σημειώσεων του Ακρίβη. Συγκεκριμένα, παρουσιάστηκαν με συντομία οι έννοιες του συνόλου καθώς και οι συνολοθεωρητικές πράξεις (ένωση, τομή, συμπλήρωμα και διαφορά), ορίστηκαν οι συναρτήσεις και έννοιες σχετικά με αυτές (γράφημα, αντίστροφη εικώνα, injections, surjections, και bijections) Ορίστηκαν πράξεις σε σύνολα και διατυπώθηκαν οι ορισμοί της ομάδας και του σώματος.

Παρασκευή 28 Σεπτεμβρίου 2001
Απο τις σελίδες των σημειώσεων διδάχτηκαν οι 13-16. Ορίσαμε τις έννοιες του διανυσματικού χώρου πάνω από ένα σώμα K και του διανυσματικού υπόχωρου. Δόθηκαν παραδείγματα διανυσματικών χώρων και υποχώρων τους. Επίσης δόθηκαν ασκήσεις για το σπίτι (κατεβάστε τις από την κυρία σελίδα του μαθήματος).

Τρίτη 2 Οκτωβρίου 2001
Διδάχτηκαν οι σελίδες 17-22. Ορίστηκε η έννοια του γραμμικού συνδιασμού, της γραμμικής εξάρτησης και ανεξαρτησίας. Όριστηκε η βάση ενός διανυσματικού χώρου, και δόθηκαν διάφοροι ισοδύναμοι χαρακτηρισμοί για να αποτελεί ένα σύνολο διανυσμάτων βάση.

Παρασκευή 5 Οκτωβρίου 2001
Το μάθημα αναβλήθηκε λόγω της δημόσιας συζήτησης στο αμφιθέατρο με τους υποψήφιους αντιπρυτάνεις.

Τρίτη 9 Οκτωβρίου 2001
Συνεχίσαμε την μελέτη των ισοδυνάμων χαρακτηρισμών της βάσης. Δείξαμε ότι όλες οι βάσεις έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων και ορίσαμε την διάσταση ενός διανυσματικού χώρου. Ορίσαμε το άθροισμα και το ευθύ άθροισμα διανυσματικών υπόχωρων και αποδείξαμε τον τύπο που συνδέει τις διαστάσεις τους.

Παρασκευή 12 Οκτωβρίου 2001
Υπολόγισαμε διάφορα παραδείγματα σχετικά με την γραμμική εξάρτηση και ανεξαρτησία διανυσμάτων, και εφαρμόσαμε σε διάφορες περιπτώσεις τον τύπο διαστάσεων για χώρους αθροισμάτων.
Ορίσαμε γραμμικές συναρτήσεις μεταξύ διανυσματικών χώρων, είδαμε παραδείγματα και μελετήσαμε μερικές συνέπειες του ορισμού της γραμμικής συνάρτησης. Απο τις διδακτικές σημειώσεις έγιναν οι σελίδες 30-33.

Τρίτη 16 Οκτωβρίου 2001
Για μια γραμμική απεικόνιση L, από το X στο Υ, ορίσαμε τους χώρους kerL, και ImL, δώσαμε ικανές και αναγκαιές συνθήκες ώστε να είναι η L "1-1", "επί" και αποδείξαμε τον τύπο διάστασης:
dimX=dimImL+dimKerL.
Τέλος δόθηκε μια πρώτη ιδέα, για την σχέση που υπάρχει ανάμεσα στις γραμμικές απεικονίσεις και στους πίνακες.

Παρασκευή 19 Οκτωβρίου 2001
Διδάχτηκαν οι σελίδες 36-40 των σημειώσεων. Αναλυτικά, μελετήθηκε ο χώρος γραμμών ενός πίνακα, ορίστηκαν οι στοιχειώδεις μετασχηματισμοί γραμμών, και αποδειχτηκέ ότι ο χώρος γραμμών παραμένει αναλλοίοτος κάτω από αυτούς. Οριστηκέ ο κλιμακωτός πίνακας και η μέθοδος απαλλοιφής του Gauss, για να καταλήξουμε σε κλιμακωτό πίνακα μέσω στοιχειωδών μετασχηματισμών γραμμών. Δείξαμε τρόπο υπολογισμού βάσης βασισμένη στην μέθοδο απαλλοιφής του Gauss.

Τρίτη 22 Οκτωβρίου 2001
Ορίστηκαν πράξεις με πίνακες (πρόσθεση,πολ/σμός). Ο χώρος των nxm πινάκων είναι διανυσματικός χώρος διάστασης nm. Δείξαμε την κατασκευή του πίνακα μιας γραμμικής απεικόνισης, και την σχέση σύνθεσης γραμμικών συναρτήσεων με τον πολ/σμο των αντιστίχων πινάκων.

Παρασκευή 26 Οκτωβρίου 2001
Παραδείγματα γραμμικών απεικονίσεων μέσω πινάκων. Κριτήρια για να είναι μια γραμμική απεικόνιση ισομορφισμός. Η ερμηνεία του πυρήνα και της εικόνας στις λύσεις γραμμικών συστημάτων. Υπολογισμός εικόνας μέσω κλιμακωτών πινάκων, παραδείγματα. Αντιστρέψιμοι πίνακες, συνθήκη για την αντιστροφή.

Tρίτη 30 Oκτωβρίου 2001
Ομογενή γραμμικά συστήματα και πυρήνες γραμμικών απεικονίσεων. Ισοδύναμα γραμμικά συστήματα, στοιχειώδεις μετασχηματισμοί στηλών

Παρασκευή 2 Νοεμβρίου
H ισότητα μεταξύ διαστάσεων του χώρου γραμμών και του χώρου στηλών. Μέθοδος λύσης ομογενών συστημάτων, παραδείγματα. Διδάχτηκε μέχρι και η σελίδα 60 των σημειώσεων. Μέχρι εδώ είναι η ύλη για την πρόοδο.

Tρίτη 6 Νοέμβριου 2001
Συσχετισμένοι υπόχωροι και μη-ομογενή γραμμικά συστήματα. Αναγωγή του προβλήματος λύσης σε ομογενές, κριτήρια για την ύπαρξη λύσης. Πρακτική μέθοδος επίλυσης γραμμικών συστημάτων.

Παρασκευή 9 Νοέμβριου 2001
Δόθηκε ο ορισμός της ορίζουσας. Αποδείχτηκε η ύπαρξη μοναδικής συνάρτησης που να πληρεί τις προϋποθέσεις του ορισμού με την βοήθεια της ακριβούς γραφής μέσω του adjoint.

Τριτη 13 Νοέμβριου 2001
Ιδιοτητες οριζουσας, μεθοδοι υπολογισμου οριζουσων.

Παρασκευή 16 Νοέμβριου 2001
Υπολογισμος αντιστροφου πινακα με χρηση οριζουσων και χωρις χρηση οριζουσων, προσαρτημενος πινακας. Λυση γραμμικου συστηματος.

Τριτη 20 Νοέμβριου 2001
Νορμες σε χωρους με εσωτερικο γινομενο, παραδειγματα σε πεπερσμενης και απειρης διαστασης χωρους. Νορμες που προκυπτουν απο εσωτερικα γινομενα, πυθαγορειο θεωρημα και ισοτητα του παραλληλογραμμου.

Παρασκευή 23 Νοέμβριου 2001
Η ανισοτητα του Schwartz, παραδειγματα, ορθογωνιοτητα και γωνια διανυσματων, μετρικες.

Τριτη 27 Νοέμβριου 2001
Τα πλεονεκτηματα της ορθοκανονικης βασης, η μεθοδος Gram-Schmidt, βελτιστη προσεγκιση, καθετη προβολη.

Παρασκευή 30 Νοεμβρίου 2001
Παραδείγματα βέλτιστης προσέγκισης, προβολή περιοδικών συναρτήσεων σε τριγονομετρικά αθροίσματα.

Τρίτη 4 Δεκεμβρίου 2001
Αναλλοίωτοι υπόχωροι μιας γραμμικής συνάρτησης. Ιδιοτιμές και ιδιόχωροι, εύρεση ιδιοδιανυσμάτων, χαρακτηριστικό πολυώνυμο.

Παρασκευή 7 Δεκεμβρίου 2001
Αλλαγή βάσης σε διανυσματικό χώρο και η επίδραση στον πίνακα της γραμμικής απεικόνισης. Όμοιοι πίνακες, οι ιδιοτιμές και τα χαρακτηριστικά πολυώνυμα είναι ανεξάρτητες της επιλογής της βάσης. Γεωμετρική και αλγεβρική πολ/τα ιδιοτιμών και οι μεταξύ τους ανισότητα, παραδείγματα.

Τρίτη 11 Δεκεμβρίου 2001
Διαγωνοποίηση πινάκων, παραδείγματα διαγωνιοποίησης. Εφαρμογές σε αναδρομικά προβλήματα, η ακολουθία του Fibonaci.

Παρασκευή 14 Δεκεμβρίου 2001
Ερμητιανοί, συμμετρικοί και ορθογώνιοι πίνακες και ιδιοτιμές τους. Ορθογώνιοι πίνακες και εσωτερικά γινόμενα, η διαγωνιοποίηση των συμμετρικών πινάκων.

Τρίτη 18 Δεκεμβρίου 2001
Το ελάχιστο πολυώνυμο πίνακα. Το θεώρημα των Caley-Hamilton. Υπολογισμός ελαχίστου πολυωνύμου, παραδείγματα.